1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件

本题导读

本题考查复数的辐角主值与实数条件。核心在于由辐角主值确定实虚部关系，再由实数条件定模。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 设 $w$ 为复数，它的辐角的主值为 $\frac{3\pi }{4}$，且 $\frac{(\bar{w}{)}^2-4}{w}$ 为实数，求复数 $w$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $w=a+bi$，由辐角主值定 $a,b$ 关系。
2. 由 $\frac{(\bar{w}{)}^2-4}{w}$ 为实数定 $a$。

✅【答案】

Success

$w=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

✍【详细解析】

Abstract

【法一】设 $w=a+bi$（$a,b\in \mathbf{R}$）。由 $\arg w=\frac{3\pi }{4}$，可得 $b=-a$ 且 $a<0$。又 $\frac{(\bar{w}{)}^2-4}{w}=\frac{(a-bi{)}^2-4}{a+bi}=\frac{a^2(1+i{)}^2-4}{a(1-i)}=-\frac{a^2+2}{a}+\frac{a^2-2}{a}i$。 由 $\frac{(\bar{w}{)}^2-4}{w}$ 为实数可知 $a^2-2=0$，即 $a=\pm \sqrt{2}$。因为 $a<0$，所以 $a=-\sqrt{2}$，于是 $w=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$。 【法二】设 $w=r\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$。由 $\frac{(\bar{w}{)}^2-4}{w}$ 为实数，可得 $4-r^2=0$，即 $r=2$，于是 $w=2\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角主值与实数条件

核心方法：设 $w=a+bi$，由 $\arg w=\frac{3\pi }{4}$ 得 $b=-a$ 且 $a<0$；$\frac{(\bar{w}{)}^2-4}{w}$ 为实数得 $a^2-2=0$，$a=-\sqrt{2}$，故 $w=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

避坑指南：辐角主值定实虚部关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的辐角

结论推广：一般地，辐角主值定实虚部关系

方法推广：辐角主值定实虚部关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-22A 解-复数的三角形式与方程
• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1996-上海文-22A 解-复数的模与纯虚数