1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件

本题导读

本题考查复数的三角形式与辐角条件。核心在于把 $\omega$ 化为单一辐角表达式，由模与辐角条件联立定 $\theta$，并逐根检验分母非零。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 设复数 $z=\cos \theta +i\sin \theta$（$0<\theta <\pi$），$\omega =\frac{1-(\bar{z}{)}^4}{1+z^4}$，已知 $|\omega |=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\arg \omega =\frac{\pi }{2}$，求 $\theta$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z^4={\mathrm{e}}^{4i\theta }$，${\bar{z}}^4={\mathrm{e}}^{-4i\theta }$，化简 $\omega$。
2. 由模条件得 $|\tan 2\theta |=\frac{\sqrt{3}}{3}$，由辐角条件定相位。
3. 对每个候选 $\theta$ 检验分母 $1+z^4\ne 0$。

✅【答案】

Success

按原卷条件（$\arg \omega =\frac{\pi }{2}$）无满足条件的 $\theta$；若按 $\arg \omega <\frac{\pi }{2}$（理科版条件）则 $\theta =\frac{\pi }{12}$ 或 $\frac{7\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $z={\mathrm{e}}^{i\theta }$ 得 $z^4={\mathrm{e}}^{4i\theta }$、${\bar{z}}^4={\mathrm{e}}^{-4i\theta }$。 $\omega =\frac{1-{\mathrm{e}}^{-4i\theta }}{1+{\mathrm{e}}^{4i\theta }}=\frac{2i{\mathrm{e}}^{-2i\theta }\sin 2\theta }{2{\mathrm{e}}^{2i\theta }\cos 2\theta }=i{\mathrm{e}}^{-4i\theta }\tan 2\theta =\tan 2\theta \left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-4\theta \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}-4\theta \right)\right]$。 由 $|\omega |=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得 $|\tan 2\theta |=\frac{\sqrt{3}}{3}$，候选 $2\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$，即 $\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12},\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$。 按原卷条件 $\arg \omega =\frac{\pi }{2}$，需 $\omega =\frac{\sqrt{3}}{3}i$： 当 $\tan 2\theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时需相位 $\frac{\pi }{2}-4\theta \equiv \frac{\pi }{2}$，即 $\theta =k\pi$，无候选； 当 $\tan 2\theta =-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时需 $\frac{\pi }{2}-4\theta \equiv \frac{3\pi }{2}$，即 $\theta =\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$，而 $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$ 时 $z^4={\mathrm{e}}^{i\pi }=-1$，分母 $1+z^4=0$，$\omega$ 无定义。 故按原始题面不存在满足全部条件的 $\theta$，题设条件彼此不相容。 ★裁定：原卷目检条件确为 $\arg \omega =\frac{\pi }{2}$（等号），官方答案册同判「条件不相容无解」；理科同款题条件为 $\arg \omega <\frac{\pi }{2}$，解为 $\theta =\frac{\pi }{12}$ 或 $\frac{7\pi }{12}$，文科卷极可能系排印之误（网传文科版多作「$<\frac{\pi }{2}$」），此处忠实记录原卷与官方裁定。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式与辐角条件

核心方法：$\omega =i{\mathrm{e}}^{-4i\theta }\tan 2\theta$，按原卷条件 $\arg \omega =\frac{\pi }{2}$ 推出条件彼此不相容（无解）；若按 $\arg \omega <\frac{\pi }{2}$ 则 $\theta =\frac{\pi }{12}$ 或 $\frac{7\pi }{12}$

避坑指南：模与辐角条件分别转化为 $\tan 2\theta$ 与相位约束，再逐根检验分母非零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数三角形式与辐角主值

结论推广：$\omega$ 的模与辐角条件等价于 $\tan 2\theta$ 与相位的联立约束

方法推广：模定绝对值、辐角定相位，逐根回代检验分母

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件
• 1995-上海理-22A 解-复数的三角形式与方程