1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角

本题导读

本题考查复数的三角形式。核心在于用指数形式合并 $z^2+z$ 并处理负实数因子对辐角的平移。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 设复数 $z=\cos \theta +i\sin \theta$，$\theta \in (\pi ,2\pi )$，求复数 $z^2+z$ 的模和辐角.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 $z={\mathrm{e}}^{i\theta }$ 写 $z^2+z={\mathrm{e}}^{2i\theta }+{\mathrm{e}}^{i\theta }=2\cos \frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{\frac{3\theta }{2}i}$。
2. 由 $\frac{\theta }{2}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 知 $\cos \frac{\theta }{2}<0$，提出负号定模与辐角。

✅【答案】

Success

模为 $-2\cos \frac{\theta }{2}$，辐角为 $\frac{3\theta }{2}+(2k-1)\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

由复数的指数形式，$z={\mathrm{e}}^{i\theta }$，故 $z^2+z={\mathrm{e}}^{2i\theta }+{\mathrm{e}}^{i\theta }={\mathrm{e}}^{\frac{3\theta }{2}i}\left({\mathrm{e}}^{\frac{\theta }{2}i}+{\mathrm{e}}^{-\frac{\theta }{2}i}\right)=2\cos \frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{\frac{3\theta }{2}i}$。因 $\theta \in (\pi ,2\pi )$，$\frac{\theta }{2}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\cos \frac{\theta }{2}<0$。于是 $z^2+z=\left(-2\cos \frac{\theta }{2}\right){\mathrm{e}}^{\left(\frac{3\theta }{2}+\pi \right)i}$，其中 $-2\cos \frac{\theta }{2}>0$ 为模。故 $|z^2+z|=-2\cos \frac{\theta }{2}$；辐角为 $\frac{3\theta }{2}+\pi +2k\pi =\frac{3\theta }{2}+(2k+1)\pi$，$k\in \mathbf{Z}$（与 $\frac{3\theta }{2}+(2k-1)\pi$，$k\in \mathbf{Z}$ 为同一集合）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数三角形式的模与辐角

核心方法：$z^2+z=2\cos \frac{\theta }{2}{\mathrm{e}}^{\frac{3\theta }{2}i}$；$\frac{\theta }{2}\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 提负号：模 $-2\cos \frac{\theta }{2}$，辐角 $\frac{3\theta }{2}+(2k-1)\pi$

避坑指南：指数形式合并提负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，${\mathrm{e}}^{2i\theta }+{\mathrm{e}}^{i\theta }$ 型先提公因式，负实数因子使辐角增加 $\pi$

方法推广：指数形式提负号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值
• 1996-上海文-22A 解-复数的模与纯虚数
• 1996-上海理-18B 填-复数的乘方与除法