1996-上海理-18B 填-复数的乘方与除法

本题导读

本题考查复数的乘方与除法，以及三角形式的运算。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）若 $i$ 是虚数单位，计算：$\frac{(1+\sqrt{3}i{)}^5}{16\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{\pi }{6}\right)}=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把分子化为三角形式乘方。
2. 分子分母用三角形式作商。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

✍【详细解析】

Abstract

$1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$，故 $(1+\sqrt{3}i{)}^5=2^5\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)=32\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$。分母 $16\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{\pi }{6}\right)=16\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right]$。作商得 $\frac{32}{16\sqrt{2}}\left[\cos \left(\frac{5\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(\frac{5\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)\right]=\sqrt{2}\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方与除法

核心方法：$(1+\sqrt{3}i{)}^5=2^5(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}{)}^5=32(\cos \frac{25\pi }{3}+i\sin \frac{25\pi }{3})=32(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$；分母 $16\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{\pi }{6})$，商 $=\frac{32}{16\sqrt{2}}(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})=\sqrt{2}i$ 再按答案册形式 $\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

避坑指南：三角式乘方再作商

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的运算

结论推广：一般地，三角式乘方再作商

方法推广：三角式乘方再作商

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1996-全国卷文-04 单-复数的乘方运算
• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根