1998-全国卷文-08 单-复数的立方根

本题导读

本题考查复数的立方根，以及用三次单位根由已知根求出其余根。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 复数 $-i$ 的一个立方根是 $i$，它的另外两个立方根是()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}i$　　　　B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}i$　　　　C. $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$　　　　D. $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 为三次单位根。
2. 已知根 $i$ 的另两根为 $i\omega$ 与 $i{\omega }^2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 是三次单位根（${\omega }^3=1$），则已知立方根 $i$ 的另外两个立方根为 $i\omega$ 和 $i{\omega }^2$。计算得 $i\omega =-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$，$i{\omega }^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$。因此另外两个立方根为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的立方根

核心方法：设 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，则另两根为 $i\omega =-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$、$i{\omega }^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$，即 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$，选 D

避坑指南：三次单位根旋转

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，$n$ 次单位根乘已知根得到其余各根

方法推广：三次单位根旋转

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷文-07 单-复数的高次幂
• 2002-大纲文-02 单-复数三角形式求值
• 2000-大纲文-02 单-复数的向量旋转