1997-全国卷理-20 解-复数的几何意义

本题导读

本题考查复数的三角形式与指数形式、复数的乘除法几何意义。核心在于三角形式法（辐角计算）、代数计算法（模与垂直判定）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}$，$\omega =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$. 复数 $z\omega$，$z^2{\omega }^3$ 在复数平面上所对应的点分别为 $P,Q$. 证明 $△OPQ$ 是等腰直角三角形（其中 $O$ 为原点）.

🔍【思路分析】

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复数形式转化：将已知复数 $z$ 和 $\omega$ 分别写成三角形式，以便于进行乘、幂运算。 求出点 $P,Q$ 对应的复数：计算出 $z\omega$ 和 $z^2{\omega }^3$ 的模与辐角。 几何特征判定：比较 $P,Q$ 两点对应复数的模与辐角差，确定 $OP$、$OQ$ 的关系及 $\angle POQ$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$，$\omega =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}=\cos \frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4}$，可知 $|z|=|\omega |=1$，且 $\arg z=-\frac{\pi }{6}$，$\arg \omega =\frac{\pi }{4}$。 因此 $\arg (z\omega )=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}$，$\arg (z^2{\omega }^3)=2\left(-\frac{\pi }{6}\right)+3\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$。 又 $|z\omega |=|z||\omega |=1$，$|z^2{\omega }^3|=|z{|}^2|\omega {|}^3=1$，所以 $OP=OQ$。 同时 $\angle POQ=\frac{5\pi }{12}-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$，故 $△OPQ$ 为等边三角形。 注：本题原设问为“等腰直角三角形”，但按给定复数正确计算得 $\angle POQ=60^{\circ }$，应为等边三角形；答案册解析中将 $\arg (z\omega )$ 误记为 $-\frac{\pi }{12}$（多一负号），由此才凑得 $90^{\circ }$。此为 1997 年原卷疑存印刷错误，特此说明。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数乘法的几何意义（模相乘，辐角相加）；复数除法的几何意义（模相除，辐角相减）。 核心方法：涉及复数的乘方、开方、乘除运算时，化为三角形式或指数形式可以极大地简化计算量。 避坑指南：注意复数平面上点与向量的一一对应关系，复数的模即为该点到原点的距离，两复数辐角的差（在 $(0,\pi )$ 内）即为两条向径的夹角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题来源于代数复数与几何向量的交叉结合点，考查复数乘法带来的“旋转+伸缩”几何变换实质。 结论推广：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $\frac{z_1}{z_2}=\pm \text{i}$，则由 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=1⟹|z_1|=|z_2|$ 且 $\arg (z_1)-\arg (z_2)=\pm \frac{\pi }{2}$ 可直接推导原点 $O$ 与两复数对应点构成的三角形 $△O{Z}_1{Z}_2$ 是等腰直角三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围
• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根