2000-大纲文-02 单-复数的向量旋转

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及向量旋转对应的复数运算。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 在复平面内，把复数 $3-\sqrt{3}i$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，所得向量对应的复数是()

A. $2\sqrt{3}$　　B. $-2\sqrt{3}i$　　C. $\sqrt{3}-3i$　　D. $3+\sqrt{3}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $3-\sqrt{3}i$ 写成三角形式。
2. 顺时针旋转即辐角减去 $\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

复数 $3-\sqrt{3}i$ 的模为 $|3-\sqrt{3}i|=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$，辐角为 $-\frac{\pi }{6}$（即 $\frac{11\pi }{6}$），故 $3-\sqrt{3}i=2\sqrt{3}\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)$．按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，相当于辐角减去 $\frac{\pi }{3}$，得 $2\sqrt{3}\left[\cos \left(\frac{11\pi }{6}-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{11\pi }{6}-\frac{\pi }{3}\right)\right]=2\sqrt{3}\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2\sqrt{3}i$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的向量旋转

核心方法：复数 $3-\sqrt{3}i=2\sqrt{3}(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6})$，顺时针转 $\frac{\pi }{3}$ 得 $2\sqrt{3}(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2})=-2\sqrt{3}i$

避坑指南：旋转即辐角相减

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，复数乘 $(\cos \theta +i\sin \theta )$ 即辐角加 $\theta$

方法推广：旋转即辐角相减

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-02 单-复数乘法运算
• 2015-上海卷文-17 单-向量旋转
• 2013-天津卷文-09 填-复数乘法

专题合集 (Series)