2000-大纲理-02 单-复数乘法与旋转

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 在复平面内，把复数 $3-\sqrt{3}\mathrm{i}$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{3}$，所得向量对应的复数是()

A. $2\sqrt{3}$ B. $-2\sqrt{3}\mathrm{i}$ C. $\sqrt{3}-3\mathrm{i}$ D. $3+\sqrt{3}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 顺时针旋转 $\frac{\pi }{3}$ 即乘以 $\cos \frac{\pi }{3}-\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

顺时针旋转 $\frac{\pi }{3}$ 相当于乘以 $\cos \frac{\pi }{3}-\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$. 因此所得复数为 $\left(3-\sqrt{3}\mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}+\frac{3}{2}{\mathrm{i}}^2=-2\sqrt{3}\mathrm{i}$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数乘法与旋转变换

核心方法：旋转对应乘以 $\cos \theta \pm \mathrm{i}\sin \theta$

避坑指南：顺时针旋转对应乘 $\left(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta \right)$，方向别搞反；${\mathrm{i}}^2=-1$ 别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：复数旋转题考查复数乘法的几何意义，是复数板块的经典题型.

2. 结论推广：向量旋转 $\theta$ 角 $⟺$ 对应复数乘 $\cos \theta \pm \mathrm{i}\sin \theta$（逆时针取 $+$，顺时针取 $-$）.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-02 单-映射的象集合元素个数
• 2000-大纲文-02 单-复数的向量旋转
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转