1990-全国文-04 单-复数向量的旋转

本题导读

本题考查复数对应的向量旋转，利用复数乘法的几何意义。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 把复数 $1+\mathrm{i}$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{2\pi }{3}$，所得到的向量对应的复数是 ()

A. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$　　B. $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$　　

C. $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$　　D. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

顺时针转 $2\pi /3$ 即乘 $\cos \frac{2\pi }{3}-\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

顺时针转 $\frac{2\pi }{3}$ 对应乘 $\cos \frac{2\pi }{3}-\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。$(1+\mathrm{i})\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数向量的旋转

核心方法：复数乘法对应向量的旋转与伸缩，按旋转角乘单位复数。

避坑指南：复数旋转

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数乘法对应旋转是复数的几何意义。

结论推广：顺时针转 θ 即乘 cosθ−isinθ。

方法推广：注意旋转方向

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-三南-09 单-复数的辐角主值
• 1992-三南-01 单-复数辐角主值
• 1993-旧高考文-04 单-复数的乘方运算