本题导读
本题考查复数的共轭运算性质、复数模的性质。核心在于共轭配方构造法、模方变换法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1987年全国卷(理)） 设复数 和 满足关系式 ，其中 为不等于 的复数. 证明：
(1) $|z_1 + A||z_2 + A| = |A|^2$； (2) $\frac{z_1 + A}{z_2 + A} = \left|\frac{z_1 + A}{z_2 + A}\right|$.
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析第 (1) 问——配方构造因式： 目标式子含有 和 的模长乘积。联想到其共轭形式，其模的平方可表述为 与 。 观察已知条件 ，若在等式两端同时加上 ，其左端恰好可以配方分解为 ，由此两端取模即可。
- 分析第 (2) 问——论证复数为正实数： 要证一个复数等于它本身的模，其代数充要条件是该复数必须是一个非负实数（因为当且仅当 且 时，才有 ）。 利用第 (1) 问变形出的代数积结构，将分母部分整体转化为含有模平方的非负实数结构，即可直接消去虚部。
✅【答案】
Success
证明见解析
证明见解析
✍【详细解析】
Abstract
证明：
(1) 证明：
已知复数代数控制方程为：
为了在等式左端强行构造出关于参数 的双线性因式分解结构，在式 ① 的等式两端同时加上不变量 ：
对等式 ② 左端前两项提取公因式 ，后两项提取公因式 ：
根据复数共轭的和等于和的共轭性质， 。同时引入复数模方不变量公式 ，右端 。 将此代入式 ④ 中，化为标准复数内积乘积式：
对等式 ⑤ 两端同时取复数模长算子：
根据“积的模等于模的积”以及“共轭复数的模等于原复数的模”（即 ）这两大复数不变量定理，式 ⑥ 左端可重组分离为：
由于 是一个非负实数，其模长等于自身。联立式 ⑥ 与式 ⑦ 可得：
第 (1) 问证毕。
(2) 证明：
要证目标恒等式 成立， 只需证明复数分式 是一个非负实数。
在第 (1) 问推导出的核心算子恒等式 ④ 中，已知：
因为题目给定条件 ，所以由式 ⑨ 可推知因式 。 在式 ⑨ 两端同时除以非零复数 ，将包含 的项孤立表达出来：
现在，将式 ⑩ 整体注入到目标证明式的左端分式分子中：
再次调用复数模方核心不变量恒等式，分母项满足：
将式 ⑫ 代回式 ⑪ 的分母中：
观察等式 ⑬ 的最终右端项，分子 与分母 均为严格正实数（非负实数）， 因此，它们的比值绝对是一个非负实数。
根据实数绝对值与复数模长的全等性，对于任意非负实数 ，恒有 。 所以对非负实数分式 ⑬ 同样满足：
结合模的除法运算逆变律 （在实数轴映射下），可得：
第 (2) 问证毕。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：共轭复数的因式分配律、复数模方的相互转化公式 、利用“复数等于其模长”判定正实数结构。
- 核心方法：共轭配方构造法、模方变换法。
- 避坑指南：
- 做第 (2) 问时，不宜代入形如 的实部虚部坐标展开：如果强行设 拓展成多元方程组，代数运算量会发生指数级爆炸，极难化简。看到有关“模”的等式证明，必须优先在整体复数算子层面利用共轭和模的性质进行抽象化简。
- 牢记复数拓扑判定准则： 。通过第 (1) 问将原式化简为两个模平方的商（式 ⑬），直接证伪了虚部的存在，是攻克第 (2) 问的捷径。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 19 题，属于复数代数运算的高维压轴题。其高等数学背景为复变函数论（Complex Function Theory）中莫比乌斯变换（Möbius transformation）在复平面上关于圆周不变量（Invariant circle）的反演拓扑映射（Inversion mapping）。
- 结论推广：在复平面中，本题给出的代数方程 实际上代表了关于圆心为 、半径为 的圆的反演对称点对映射。
- 第 (1) 问的结论 正是几何中经典的反演半径不变量方程（幂定理）；
- 第 (2) 问的结论 意味着从圆心 出发，指向 的向量与指向 的向量其辐角（Argument）完全相同，即 三点在复平面上无条件共线且位于圆心的同侧射线结构上。
🔗【关联脉络】
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