1987-全国文-17 解-复数的几何意义与运算

本题导读

本题考查复数表示等边三角形顶点，核心在于利用旋转 $60^{\circ }$ 求解。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为 $2$，$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$，求第三个顶点所表示的复数.

🔍【思路分析】

破题导航

设第三顶点为 $z$，则 $z$ 与已知顶点构成等边，利用旋转 $60^{\circ }$ 求解。

✅【答案】

Success

$2+\sqrt{3}\mathrm{i}$ 或 $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

设第三顶点为 $z$。由等边三角形，$z-2$ 与 $\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)-2=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 模相等且辐角相差 $\pm \frac{\pi }{3}$，即旋转 $\pm 60^{\circ }$。解得 $z=2+\sqrt{3}\mathrm{i}$ 或 $z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的几何意义与运算

核心方法：已知两顶点 $2$、$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$，第三顶点为旋转 $\pm 60^{\circ }$ 所得。

避坑指南：用复数乘法旋转，得 $2+\sqrt{3}\mathrm{i}$ 或 $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数表示等边三角形顶点。

结论推广：等边三角形第三顶点由旋转 $\pm 60^{\circ }$ 得到。

方法推广：复数乘 $e^{\pm i\pi /3}$ 实现旋转。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-01 单-复数的乘方
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解