1986-广东理-07 单-复数模的轨迹方程

本题导读

本题考查复数模的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 在复平面上，设动点 $Z$ 对应的复数为 $z$，$Z$ 到复数 $-\mathrm{i}$ 和 $1+\mathrm{i}$ 所对应的点的距离之和等于 $5$，则动点 $Z$ 的轨迹方程为 ()

A. $|z+\mathrm{i}|+|z-1-\mathrm{i}|=5$

B. $|z-\mathrm{i}|+|z+1+\mathrm{i}|=5$

C. $(z+\mathrm{i})+(z-1-\mathrm{i})=5$

D. $(z-\mathrm{i})+(z+1+\mathrm{i})=5$

E. $(z+\mathrm{i}{)}^2+(z-1-\mathrm{i}{)}^2=25$

🔍【思路分析】

破题导航

距离 = $|z-z_0|$，两点为 $-\mathrm{i}$ 与 $1+\mathrm{i}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$z$ 到 $z_0$ 的距离为 $|z-z_0|$。到 $-\mathrm{i}$ 与 $1+\mathrm{i}$ 距离之和 $=5$，即 $|z-(-\mathrm{i})|+|z-(1+\mathrm{i})|=5$，即 $|z+\mathrm{i}|+|z-1-\mathrm{i}|=5$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的轨迹方程

核心方法：到两点距离之和为定值，轨迹为椭圆。

避坑指南：$|z+i|+|z-1-i|=5$，选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数轨迹。

结论推广：距离和为定值。

方法推广：椭圆定义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-17 解-复数的几何意义与运算
• 1988-上海-27 解-复数的模与辐角