1988-上海-27 解-复数的模与辐角

本题导读

本题考查复数的模、辐角与最值。核心在于由 $z_1+z_2+z_3=0$ 平方相加求 $\cos (\beta -\gamma )$。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 复数 $z_1,z_2,z_3$ 的辐角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，又 $|z_1|=1$，$|z_2|=k$，$|z_3|=2-k$，且 $z_1+z_2+z_3=0$.问 $k$ 各为何值时，$\cos (\beta -\gamma )$ 分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $z_1=-(z_2+z_3)$ 平方取模得 $\cos (\beta -\gamma )$ 关于 $k$ 的表达式。

✅【答案】

Success

当 $k=1$ 时最大值 $-\frac{1}{2}$；当 $k=\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$ 时最小值 $-1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha$，$z_2=k(\cos \beta +i\sin \beta )$，$z_3=(2-k)(\cos \gamma +i\sin \gamma )$。由 $z_1+z_2+z_3=0$ 得 $\cos \alpha =-k\cos \beta -(2-k)\cos \gamma$，$\sin \alpha =-k\sin \beta -(2-k)\sin \gamma$。平方相加：$1=k^2+(2-k{)}^2+2k(2-k)\cos (\beta -\gamma )$。故 $\cos (\beta -\gamma )=\frac{1-k^2-(2-k{)}^2}{2k(2-k)}=1+\frac{3}{2(k-1{)}^2-2}$。因 $|\cos (\beta -\gamma )|\le 1$，得 $-2\le \frac{3}{2(k-1{)}^2-2}\le 0$，解得 $\frac{1}{2}\le k\le \frac{3}{2}$。当 $k=1$ 时 $\cos (\beta -\gamma {)}_{\max }=-\frac{1}{2}$；当 $k=\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ 时 $\cos (\beta -\gamma {)}_{\min }=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与辐角

核心方法：复数模与辐角，$z_1+z_2+z_3=0$。

避坑指南：平方相加求 $\cos (\beta -\gamma )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数。

结论推广：模与辐角。

方法推广：平方相加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-06 单-复数模的取值范围
• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围