1990-广东理-06 单-复数模的取值范围

本题导读

本题考查复数模的几何意义，以及圆的内部与实部固定的关系。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 如果复数 $z=3+a\mathrm{i}$ 满足条件 $|z-2|<2$，那么实数 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$　　　　　　B. $(-2,2)$　　　　　　C. $(-1,1)$　　　　　　D. $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$

🔍【思路分析】

破题导航

$|z-2|<2$ 表示以 $2$ 为圆心、$2$ 为半径的圆内部，代入 $z=3+a\mathrm{i}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$z=3+a\mathrm{i}$，则 $z-2=1+a\mathrm{i}$，$|z-2|=\sqrt{1+a^2}<2$，即 $1+a^2<4$，得 $a^2<3$，故 $-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的取值范围

核心方法：由|z-2|<2 得圆心(2,0)半径2的圆内部，求 a 范围。

避坑指南：复数模的几何意义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数模的几何意义是到定点距离。

结论推广：|z-2|<2 是圆内部。

方法推广：实部固定虚部变化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-三南-06 单-复数模的几何意义
• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解