1988-广东理-33 解-复数的辐角与纯虚数条件

本题导读

本题考查复数的辐角主值与纯虚数条件。核心在于由 $zu$ 为纯虚数求出 $a$，再讨论辐角。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 设 $0<\theta <2\pi$，复数 $z=1-\cos \theta +i\sin \theta$，$u=a^2+ai$，且 $zu$ 是纯虚数.这里，$i$ 是虚数单位，$a$ 是实数.

(1)求复数 $u$ 的辐角主值 $\arg u$（用 $\theta$ 的代数式表示）；

(2)记 $\omega =z^2+u^2+2zu$，试问：$\omega$ 可能是正实数吗？为什么？

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由 $zu$ 纯虚数得 $a=\cot \frac{\theta }{2}$，讨论 $\arg u$；（2）$\omega =(z+u{)}^2$，用反证法。

✅【答案】

Success

(1)当 $0<\theta <\pi$ 时 $\arg u=\frac{\theta }{2}$；当 $\pi <\theta <2\pi$ 时 $\arg u=\pi +\frac{\theta }{2}$；(2)不可能，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$zu=[a^2(1-\cos \theta )-a\sin \theta ]+[a^2\sin \theta +a(1-\cos \theta )]i$。因 $zu$ 为纯虚数，故 $a^2(1-\cos \theta )-a\sin \theta =0$ 且 $a^2\sin \theta +a(1-\cos \theta )\ne 0$。由后者知 $a\ne 0$，又 $0<\theta <2\pi$ 时 $1-\cos \theta \ne 0$，故 $a=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=\frac{2\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}}{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}=\cot \frac{\theta }{2}$，且 $\theta \ne \pi$。于是 $\tan (\arg u)=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}=\tan \frac{\theta }{2}$。当 $0<\theta <\pi$ 时，$u={\cot }^2\frac{\theta }{2}+\cot \frac{\theta }{2}i$ 对应点在第一象限，$\arg u=\frac{\theta }{2}$；当 $\pi <\theta <2\pi$ 时对应点在第四象限，$\arg u=\pi +\frac{\theta }{2}$。 （2）$\omega =z^2+u^2+2zu=(z+u{)}^2$，其中 $z+u=1-\cos \theta +a^2+(a+\sin \theta )i$，实部 $1-\cos \theta +a^2>0$。若 $\omega$ 是正实数，则 $z+u$ 为实数，故 $a+\sin \theta =0$，即 $a=-\sin \theta$。但由（1）$a=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }$ 且 $\sin \theta \ne 0$，于是 $-\sin \theta =\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }$，得 $-1=\frac{1}{1-\cos \theta }$，$\cos \theta =2$，矛盾。故 $\omega$ 不可能是正实数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角与纯虚数条件

核心方法：由 $zu$ 为纯虚数得 $a=\cot \frac{\theta }{2}$，$argu=\frac{\theta }{2}$（$0<\theta <\pi$）或 $\pi +\frac{\theta }{2}$（$\pi <\theta <2\pi$）；$\omega =(z+u{)}^2$ 不可能为正实数。

避坑指南：纯虚数实部为 $0$，虚部非 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数辐角。

结论推广：纯虚数条件。

方法推广：辐角主值范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-32 解-复数的运算与模
• 1990-广东理-06 单-复数模的取值范围
• 1990-广东理-24 单-复数的辐角与位置