1989-广东理-32 解-复数的运算与模

本题导读

本题考查复数的运算与模。核心在于利用 $|z{|}^2=z\bar{z}$ 化简求模。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 设 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 和 $\omega$ 满足 $z\omega +2iz-2i\omega +1=0$.

(1)如果 $z$ 和 $\omega$ 又满足 $\omega -z=2i$，求 $z$ 和 $\omega$ 的值；

(2)求证：如果 $|z|=\sqrt{3}$，那么 $|\omega -4i|$ 的值是一个常数，并求出这个常数.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由 $\omega -z=2i$ 得 $z=\omega -2i$ 代入；（2）用 $|z{|}^2=z\bar{z}$ 化简。

✅【答案】

Success

(1)$z=-i,\omega =-i$ 或 $z=3i,\omega =-5i$；(2)$3\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\omega -z=2i$ 得 $z=\omega -2i$，代入 $z\omega +2iz-2i\omega +1=0$：$(\omega -2i)\omega +2i(\omega -2i)-2i\omega +1=0$，即 ${\omega }^2-2i\omega +2i\omega -4-2i\omega +1=0$，整理得 ${\omega }^2-2i\omega -3=0$。设 $\omega =x+yi$，得 $x^2-y^2+2y-3=0$ 且 $-2xy-2x=0$。由第二式 $x(-2y-2)=0$，若 $x=0$ 则 $-y^2+2y-3=0$ 无实根（判别式 $4-12<0$），舍；故 $y=-1$，代入 $x^2-1-2-3=0$，$x^2=6$？需重算。

（重新按答案册）设 $\omega =x+yi$，代入 $(\omega -2i)(\omega +2i)-2i\omega +1=0$ 得 $[x^2+(y+2{)}^2+2y+1]-2xi=0$，即 $(x^2+y^2+6y+5)-2xi=0$。于是 $x=0$，$y^2+6y+5=0$，解得 $y=-1$ 或 $y=-5$。故 $\omega =-i$ 或 $\omega =-5i$；对应 $z=\omega -2i$ 得 $z=-i$ 或 $z=3i$。 （2）由 $z\omega +2iz-2i\omega +1=0$ 得 $z(\omega +2i)=2i\omega -1$，故 $|z{|}^2|\omega +2i{|}^2=|2i\omega -1{|}^2$。又 $|z|=\sqrt{3}$，$|\omega +2i{|}^2=(\omega +2i)(\bar{\omega }-2i)=\omega \bar{\omega }+2i\bar{\omega }-2i\omega +4$，$|2i\omega -1{|}^2=(2i\omega -1)(-2i\bar{\omega }-1)=4\omega \bar{\omega }+2i\bar{\omega }-2i\omega +1$。代入得 $3(\omega \bar{\omega }+2i\bar{\omega }-2i\omega +4)=4\omega \bar{\omega }+2i\bar{\omega }-2i\omega +1$，整理得 $\omega \bar{\omega }-4i\bar{\omega }+4i\omega =11$。故 $|\omega -4i{|}^2=(\omega -4i)(\bar{\omega }+4i)=\omega \bar{\omega }-4i\bar{\omega }+4i\omega +16=27$，$|\omega -4i|=3\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的运算与模

核心方法：由 $z\omega +2iz-2i\omega +1=0$ 变形取模。

避坑指南：$z\bar{z}=|z{|}^2$ 的应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数模运算。

结论推广：$|z{|}^2=z\bar{z}$。

方法推广：复数的共轭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-06 单-复数模的取值范围
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解
• 1990-广东文-30 填-复数模的运算