1988-全国卷理-01 单-复数的乘方

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数代数形式的除法与乘方。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^2$ 的值等于 ()

A. $1$　　　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　　　C. $\mathrm{i}$　　　　　　　　　D. $-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（先化简底数）： 优先处理括号内部的分式 $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$。分子与分母同乘以分母的共轭复数 $(1-\mathrm{i})$ 实现分母实数化，将底数规整为简单的单项虚数，再执行平方运算。
2. 方法二（先分配幂次）： 利用幂的分配律法则将指数平方直接作用于分子与分母： $\frac{(1-\mathrm{i}{)}^2}{(1+\mathrm{i}{)}^2}$。分别应用完全平方公式展开，利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 消除常数项，最后做商。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（优先实数化底数）：

首先对括号内部的复数分式执行分母实数化变换，分子与分母同乘以分母的共轭复数 $(1-\mathrm{i})$： $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}\text{(1)}$

展开式 ① 的分子与分母多项式，引入虚数单位核心代数恒等式 ${\mathrm{i}}^2=-1$： $\text{分子}=(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i}\text{(2)}$ $\text{分母}=1^2-{\mathrm{i}}^2=1-(-1)=2\text{(3)}$

将项式 ② 与 ③ 的化简结果代回分式 ① 中进行约分： $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{-2\mathrm{i}}{2}=-\mathrm{i}\text{(4)}$

最后，将底数的不变量代换结果 ④ 代回原求值式中，执行平方幂运算： ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^2=(-\mathrm{i}{)}^2=(-1{)}^2\cdot {\mathrm{i}}^2=1\cdot (-1)=-1\text{⑤}$

解法二（一气呵成乘方运算法）：

利用乘方对除法的分配律，将外层指数 2 平移入分式结构内部： ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^2=\frac{(1-\mathrm{i}{)}^2}{(1+\mathrm{i}{)}^2}\text{⑥}$

分别应用完全平方公式对分子与分母执行代数展开，并代入 ${\mathrm{i}}^2=-1$： $\text{原式}=\frac{1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}=\frac{1-2\mathrm{i}-1}{1+2\mathrm{i}-1}\text{⑦}$ $\text{原式}=\frac{-2\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}=-1\text{⑧}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数分式的共轭实数化、常用特殊复数因式不变量（如 $(1\pm \mathrm{i}{)}^2=\pm 2\mathrm{i}$， $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$）的提取应用。
2. 核心方法：底数分母实数化法。
3. 避坑指南：
   • 记住两个极高频出现的复数不变量单位： $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\equiv \mathrm{i}$ 以及 $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\equiv -\mathrm{i}$。在客观题中直接调用这两个结论可以实现。
   • 注意计算 $(-\mathrm{i}{)}^2$ 时符号的负负得正干扰，严格按照 $(-1{)}^2\cdot {\mathrm{i}}^2=1\times (-1)=-1$ 拆分，避免粗心错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第一题，属于常规复数算理复核题。其高等数学背景对应复变函数论中算术单位根（Root of unity）在复平面（Argand diagram）上绕原点做四分之一次周期的矩阵旋转变换映射。
2. 结论推广：在全域复数空间中，由于互逆对称性，对于通用的高阶整数幂系统，下列全周期离散常数通轴方程无条件恒成立（其中 $k\in \mathbf{Z}$）： ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^n=(-\mathrm{i}{)}^n=\{\begin{array}{ll}1,& n=4k\\ -\mathrm{i},& n=4k+1\\ -1,& n=4k+2\\ \mathrm{i},& n=4k+3\end{array}$ 在本题特定标量中（ $n=2⟹4\times 0+2$ ），代入推广式直接输出不变量 $-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-01 单-复数的乘方
• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1996-全国卷文-04 单-复数的乘方运算