1989-广东理-30 填-虚数单位与立方根

本题导读

本题考查虚数的立方根与复数运算。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 如果虚数 $z$ 满足 $z^3=8$，那么 $z^3+z^2+2z+2$ 的值是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$z^3=8$ 的虚根为 $-1\pm \sqrt{3}i$，代入计算。

✅【答案】

Success

$6$

✍【详细解析】

Abstract

$z^3=8$ 的根为 $z=2$ 及两个虚根 $-1\pm \sqrt{3}i$。取虚根 $z=-1+\sqrt{3}i$（或 $-1-\sqrt{3}i$），有 $z^3=8$，$z^2=-2-2\sqrt{3}i$（对 $-1+\sqrt{3}i$）。则 $z^3+z^2+2z+2=8+(-2-2\sqrt{3}i)+2(-1+\sqrt{3}i)+2=8-2-2+2=6$。故值为 $6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：虚数单位与立方根

核心方法：代入 $z^3+z^2+2z+2$ 计算。

避坑指南：$z^3=8$ 代入化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数立方根。

结论推广：$z^3=8$ 的三根。

方法推广：虚数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-04 单-复数向量的旋转
• 1990-广东文-12 单-复数向量的旋转
• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式