1995-全国卷理-21 解-复数与正方形顶点

本题导读

本题考查复数的几何意义、复数的乘减法与旋转变换。核心在于旋转变换法（复数乘法几何化）、代数方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 $Z_1,Z_2,Z_3,O$（其中 $O$ 是原点），已知 $Z_2$ 对应复数 $Z_2=1+\sqrt{3}\text{i}$.求 $Z_1$ 和 $Z_3$ 对应的复数.

🔍【思路分析】

破题导航

分析几何结构：正方形的顶点依逆时针顺序为 $Z_1,Z_2,Z_3,O$。连接对角线 $O{Z}_2$，根据正方形的性质可知，边 $O{Z}_1$ 和 $O{Z}_3$ 垂直且相等，对角线 $O{Z}_2$ 平分 $\angle Z_{1}O{Z}_3$。 确定旋转与伸缩关系：

• 向量 $\overrightarrow{O{Z}_2}$ 的模长是 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 的 $\sqrt{2}$ 倍，且 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 逆时针旋转 $45^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{4}$）得到 $\overrightarrow{O{Z}_2}$。
• 同理，$\overrightarrow{O{Z}_2}$ 逆时针旋转 $45^{\circ }$ 且模长缩短为原来的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍得到 $\overrightarrow{O{Z}_3}$。 转化为复数运算：利用复数的三角形式或指数形式表示旋转算子，通过 $Z_2=Z_1\cdot \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 和 $Z_3=Z_2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 建立代数式求解。

✅【答案】

Success

$z_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$，$z_3=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

因为正方形的顶点按逆时针方向依次为 $Z_1,Z_2,Z_3,O$， 所以由正方形的几何性质可知： $△O{Z}_1{Z}_2$ 和 $△O{Z}_3{Z}_2$ 均为等腰直角三角形，且 $\angle Z_{1}O{Z}_2=\angle Z_{2}O{Z}_3=45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$。 对角线长度 $|O{Z}_2|=\sqrt{2}|O{Z}_1|=\sqrt{2}|O{Z}_3|$。

1. 求解 $Z_3$ 对应的复数 向量 $\overrightarrow{O{Z}_3}$ 可以看作由向量 $\overrightarrow{O{Z}_2}$ 顺时针旋转 $45^{\circ }$ 且模长变为原来的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍得到；或者说向量 $\overrightarrow{O{Z}_2}$ 逆时针旋转 $45^{\circ }$ 且模长拉伸 $\sqrt{2}$ 倍得到 $\overrightarrow{O{Z}_2}$ 的逆向过程。 故有： $Z_2=Z_3\cdot \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)=Z_3\cdot \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)=Z_3(1+\text{i})$

由于 $Z_2=1+\sqrt{3}\text{i}$，代入上式得： $Z_3=\frac{1+\sqrt{3}\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(1+\sqrt{3}\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{1-\text{i}+\sqrt{3}\text{i}+\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}\text{i}$

2. 求解 $Z_1$ 对应的复数 因为 $\overrightarrow{O{Z}_2}$ 是由 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 逆时针旋转 $45^{\circ }$ 且模长放大 $\sqrt{2}$ 倍得到，所以： $Z_2=Z_1\cdot \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)=Z_1(1+\text{i})$ 由此可知 $Z_1$ 与 $Z_3$ 的代数结构形式相同，但在正方形中 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 与 $\overrightarrow{O{Z}_3}$ 两两垂直且模长相等。 根据逆时针顺序 $Z_1,Z_2,Z_3,O$，向量 $\overrightarrow{O{Z}_1}$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$（即乘以 $\text{i}$）得到 $\overrightarrow{O{Z}_3}$，即： $Z_3=Z_1\cdot \text{i}⟹Z_1=\frac{Z_3}{\text{i}}=-Z_3\text{i}$

将 $Z_3$ 的结果代入： $Z_1=-\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}\text{i}\right)\text{i}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\text{i}$

答： $Z_1$ 对应的复数为 $\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\text{i}$ ；$Z_3$ 对应的复数为 $\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}-1}{2}\text{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数乘法的几何意义。复数 $z\cdot (\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$ 表示将复数 $z$ 在复平面上逆时针旋转角度 $\theta$。 核心方法：旋转算子法。利用正方形内接于原点时对角线与边的固定的夹角（$45^{\circ }$ 或 $90^{\circ }$）和模长比例关系（$1:\sqrt{2}$），直接构建复数乘除法方程。 避坑指南：

• 必须严格分清逆时针与顺时针的旋转方向。若将方向弄反，会导致旋转角 $\theta$ 的符号改变，进而导致实部与虚部符号颠倒。
• 注意顶点字母的排列顺序 $Z_1,Z_2,Z_3,O$。原点 $O$ 在最后，这意味着所有的几何向量均应以 $O$ 为起点（即 $\overrightarrow{O{Z}_1},\overrightarrow{O{Z}_2},\overrightarrow{O{Z}_3}$），直接对应复数 $Z_1,Z_2,Z_3$ 的平移量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于复数与平面几何形状（正三角形、正方形、正多边形）结合的经典考题。在高等数学（复变函数）中，这属于初等解析变换中的线性变换与旋转映射的基础应用。 结论推广： 若以原点 $O$ 为一个顶点，按逆时针方向排列的正方形四个顶点为 $Z_1,Z_2,Z_3,O$，已知对角线顶点 $Z_2$，则相邻两顶点 $Z_1,Z_3$ 的通用复数关系式为： $Z_3=\frac{Z_2}{1+\text{i}}$ $Z_1=\frac{Z_2}{1+\text{i}}\cdot (-\text{i})=\frac{Z_2}{1-\text{i}}$ 利用此推广结论，对于任何给定的 $Z_2$，只需直接乘以 $\frac{1-\text{i}}{2}$ 或 $\frac{1+\text{i}}{2}$ 即可一步得出相邻两顶点的复数表示。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值
• 1996-上海文-22A 解-复数的模与纯虚数
• 1996-上海理-18B 填-复数的乘方与除法