1994-全国卷理-21 解-复数的三角形式与代数运算

本题导读

本题考查复数的四则运算与共轭复数、复数的三角形形式（极坐标形式）。核心在于代数运算化简法、复数相等的实虚部分解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 已知 $z=1+\text{i}$.

(1) 设 $\omega =z^2+3\bar{z}-4$，求 $\omega$ 的三角形形式；

(2) 如果 $\frac{z^2+az+b}{z^2-z+1}=1-\text{i}$，求实数 $a,b$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

第(1)问：

• 由 $z=1+\text{i}$ 得到 $\bar{z}=1-\text{i}$，计算 $z^2=(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$。
• 代入 $\omega$ 的代数式化简，得到 $\omega$ 的代数形式 $x+y\text{i}$。
• 求出模长 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 与辐角主值 $\theta$，写出三角形形式 $\rho (\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$。 第(2)问：
• 将分母乘到等式右边，转化为多项式等式 $z^2+az+b=(1-\text{i})(z^2-z+1)$。
• 代入 $z=1+\text{i}$ 和 $z^2=2\text{i}$，分别化简等式两端。
• 根据复数相等的条件（实部等于实部，虚部等于虚部），列出关于 $a,b$ 的二元一次方程组求解。

✅【答案】

Success

(1) $\omega =\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{5\pi }{4}\right)$

(2) $a=-1$，$b=2$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由 $z=1+\text{i}$ 可得： $z^2=(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2=2\text{i}$ $\bar{z}=1-\text{i}$

(1) 求解 $\omega$ 的三角形形式： 将 $z^2$ 和 $\bar{z}$ 代入 $\omega$ 的表达式中： $\omega =2\text{i}+3(1-\text{i})-4$ $\omega =2\text{i}+3-3\text{i}-4$ $\omega =-1-\text{i}$

求复数 $\omega$ 的模 $\rho$： $\rho =|\omega |=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$

因为 $\omega$ 的实部为 $-1<0$，虚部为 $-1<0$，所以 $\omega$ 的终边在第三象限。 设其辐角主值为 $\theta$，则： $\tan \theta =\frac{-1}{-1}=1⟹\theta =\frac{5\pi }{4}(\text{或 }-\frac{3\pi }{4})$

故 $\omega$ 的三角形形式为： $\omega =\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{5\pi }{4}\right)$

(2) 求解实数 $a,b$ 的值： 将原方程去分母变形为： $z^2+az+b=(1-\text{i})(z^2-z+1)$

将 $z=1+\text{i}$ 和 $z^2=2\text{i}$ 代入上式两端： 左端： $2\text{i}+a(1+\text{i})+b=(a+b)+(a+2)\text{i}$

右端： $(1-\text{i})(2\text{i}-(1+\text{i})+1)=(1-\text{i})(\text{i})$ $(1-\text{i})\text{i}=\text{i}-{\text{i}}^2=1+\text{i}$

因此，得代数方程： $(a+b)+(a+2)\text{i}=1+\text{i}$

因为 $a,b$ 是实数，由复数相等的充要条件得： $\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+2=1\end{array}$

解该方程组得： $\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形形式（也称极坐标形式）规定其标准结构为 $\rho (\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$，其中模 $\rho \ge 0$。 核心方法：处理复数方程且含有未知实数时，通常将两边均化为 $A+B\text{i}$ 的标准代数式，再通过“实部对实部，虚部对虚部”实现复数问题向实数方程组的转化。 避坑指南：

• 在第(1)问中，求辐角 $\theta$ 时切勿只看 $\tan \theta =1$ 就误写成第一象限的 $\frac{\pi }{4}$。必须结合复数在复平面内的象限位置（第三象限）确定辐角。
• 在第(2)问中，注意代入化简时分母中包含的 $-z+1=-(1+\text{i})+1=-\text{i}$，注意正负号的消除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于高考解答题开篇的第一道大题，直接考查复数代数运算与几何形式转换，源自教材中复数基本运算的课后大题综合。 结论推广：复数相等的条件是解析几何及方程思想在复数中的具体体现。若存在复数等式 $f(z)a+g(z)b=h(z)$，当已知 $a,b\in \mathbb{R}$ 时，由于任何复数皆可写为 $x+yi$ 形式，该模型可普适性地退化为关于 $a,b$ 的二元一次方程组，从而保证了复数域内多维未知数求解的唯一性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1996-全国卷文-04 单-复数的乘方运算
• 1997-上海理-09 填-复数的乘方运算