1994-全国卷理-09 单-复数模的几何意义与最值

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及椭圆的定义（退化情形）。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 如果复数 $z$ 满足 $|z+i|+|z-i|=2$，那么 $|z+i+1|$ 的最小值是 ()

A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

分析已知轨迹：在复平面上，$|z-z_1|$ 表示动点 $z$ 到定点 $z_1$ 的距离。因此 $|z+i|+|z-i|=2$ 表示动点 $z$ 到两个定点 $F_1(0,-1)$ 和 $F_2(0,1)$ 的距离之和等于 $2$。 判定轨迹形态：计算两个定点之间的距离 $|F_1{F}_2|=|i-(-i)|=2$。因为两定点间的距离恰好等于距离之和（$2c=2a=2$），所以动点 $z$ 的轨迹并不是严格的椭圆，而是退化为连接这两点的线段 $F_1{F}_2$。 转化求值目标：目标式 $|z+i+1|$ 可以写为 $|z-(-1-i)|$，其几何意义为线段 $F_1{F}_2$ 上的动点 $z$ 到定点 $P(-1,-1)$ 的距离。利用数形结合，寻找点 $P$ 到该线段上点的最短距离。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

确定动点 $z$ 的轨迹 由复数模的几何意义可知：

• $|z-i|$ 表示动点 $z$ 到定点 $F_2(0,1)$ 的距离；
• $|z+i|$ 表示动点 $z$ 到定点 $F_1(0,-1)$ 的距离。

已知 $|z+i|+|z-i|=2$，而两定点 $F_1(0,-1)$ 与 $F_2(0,1)$ 之间的距离为： $|F_1{F}_2|=\sqrt{0^2+(1-(-1){)}^2}=2$

根据几何性质，到两定点距离之和等于这两点间距离的点的轨迹是以这两点为端点的线段。 因此，动点 $z$ 的几何轨迹是虚轴上连接 $(0,-1)$ 到 $(0,1)$ 的线段 $F_1{F}_2$，即实部为 $0$，虚部满足 $-1\le y\le 1$。

分析目标式的几何意义 将目标式变形为： $|z+i+1|=|z-(-1-i)|$ 它表示线段 $F_1{F}_2$ 上的动点 $z(0,y)$ 到定点 $P(-1,-1)$ 的距离。

计算最小值 定点 $P$ 的坐标为 $(-1,-1)$，动点 $z$ 在 $y$ 轴上且 $-1\le y\le 1$。 根据垂线段最短原理，点 $P(-1,-1)$ 到 $y$ 轴（直线 $x=0$）的垂直距离为： $d=|0-(-1)|=1$ 此时对应的垂足坐标为 $(0,-1)$，该点恰好为线段 $F_1{F}_2$ 的下端点 $F_1$（满足 $-1\le y\le 1$ 的范围）。

所以，$|z+i+1|$ 的最小值就是 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的几何意义 $|z-z_0|$。满足 $|z-z_1|+|z-z_2|=2a$ 的轨迹判定：

• 当 $2a>|z_1-z_2|$ 时，轨迹为椭圆；
• 当 $2a=|z_1-z_2|$ 时，轨迹为线段 $z_1{z}_2$；
• 当 $2a<|z_1-z_2|$ 时，轨迹不存在。 核心方法：数形结合法。将抽象的复数绝对值代数式，转化为复平面上的点线距离，能避开繁琐的二次方程配方计算。 避坑指南：极易形成思维定势，看到 $|z-z_1|+|z-z_2|=2a$ 就盲目判定为椭圆，从而去写椭圆方程 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，结果发现 $b^2=a^2-c^2=1-1=0$ 导致无法解答。做题前必须先校验 $2a$ 与焦距 $2c$ 的大小关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查了解析几何中圆锥曲线定义的“临界/退化”状态在复数领域的应用，源于教材中对椭圆第一定义条件的严谨性探讨。 结论推广：在平面解析几何或复数轨迹中，

• 满足 $|z-z_1|+|z-z_2|=|z_1-z_2|$ 的点 $z$ 构成的集合是线段 $z_1{z}_2$；
• 满足 $|z-z_1|-|z-z_2|=|z_1-z_2|$ 的点 $z$ 构成的集合是以 $z_2$ 为端点、方向背离 $z_1$ 的射线（双曲线定义的退化形式）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1996-全国卷文-04 单-复数的乘方运算
• 1997-上海理-09 填-复数的乘方运算