1992-全国卷理-15 单-复数模的最值

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及复数的模与复平面上的距离。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 已知复数 $z$ 的模为 2，则 $|z-\mathrm{i}|$ 的最大值为 ()

A. 1　　　　　　　　　B. 2　　　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 转化几何条件：
   • 已知 $|z|=2$，在复平面内，这表示动点 $z$ 的轨迹是以原点 $O(0,0)$ 为圆心，半径 $R=2$ 的圆。
   • 目标代数式 $|z-\mathrm{i}|$ 表示动点 $z$ 到定点 $A(0,1)$（对应复数 $\mathrm{i}$）的距离。
2. 结合图形求最值：定点 $A(0,1)$ 在圆的内部。根据圆的几何性质，圆上的动点到圆内定点的最大距离，等于定点到圆心的距离加上圆的半径。
3. 代数三角不等式验证：也可以直接利用复数模的三角不等式性质 $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ 进行放大求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一（数形结合法）： 在复平面内，由 $|z|=2$ 可知，复数 $z$ 对应的点 $P(x,y)$ 的轨迹是以原点 $O(0,0)$ 为圆心，半径 $R=2$ 的圆。

复数 $\mathrm{i}$ 在复平面内对应的定点为 $A(0,1)$。 代数式 $|z-\mathrm{i}|$ 的几何意义即为圆上的动点 $P$ 到定点 $A$ 的距离 $|PA|$。

定点 $A(0,1)$ 到圆心 $O(0,0)$ 的距离为： $|OA|=\sqrt{0^2+1^2}=1$

当动点 $P$ 运动到射线 $AO$ 与圆的远端交点处（即点 $P$ 的坐标为 $(0,-2)$）时，距离 $|PA|$ 达到最大值。 该最大值为： $|PA{|}_{\max }=|OA|+R=1+2=3$

解法二（三角不等式代数法）： 根据复数模的三角不等式性质，对任意两个复数 $z_1,z_2$，恒有： $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

我们将目标式 $|z-\mathrm{i}|$ 拆分并进行放大： $|z-\mathrm{i}|=|z+(-\mathrm{i})|\le |z|+|-\mathrm{i}|$

已知 $|z|=2$，且虚数单位的负值模为 $|-\mathrm{i}|=1$，代入上式得： $|z-\mathrm{i}|\le 2+1=3$

当且仅当 $z$ 与 $-\mathrm{i}$ 同向，即 $z=-2\mathrm{i}$ 时，等号成立。此时 $|-2\mathrm{i}-\mathrm{i}|=|-3\mathrm{i}|=3$。 因此， $|z-\mathrm{i}|$ 的最大值为 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模的几何意义（$|z-z_0|$ 表示两点间距离），三角不等式 $|z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|$。
2. 核心方法：数形结合法与代数放大法。
3. 避坑指南：容易由于对复平面的概念模糊，误将 $\mathrm{i}$ 当作横坐标的 1，导致算错定点位置。牢记 $\mathrm{i}=0+1\mathrm{i}$，对应的是纵轴（虚轴）上的点 $(0,1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数性质板块的经典几何最值题。直接取材于高三一轮复习中关于“复数的几何意义与代数最值”的典型高频模考基础题。
2. 结论推广：一般地，若已知 $|z|=R$，求 $|z-z_0|$ 的最大值与最小值（其中 $z_0$ 为常复数）：
   • 最大值恒为： $|z_0|+R$；
   • 最小值恒为： $||z_0|-R|$。 本题中 $R=2,z_0=\mathrm{i}⟹|z_0|=1$，直接代入推广通式得最大值为 $1+2=3$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1993-上海-22 解-复数的运算与模

• 1994-全国卷文-09 单-复数模的几何意义

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角