1990-全国卷理-02 单-复数乘法与旋转

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及复数的三角形式。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 把复数 $1+\text{i}$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{2\pi }{3}$，所得的向量对应的复数是 ()

A. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\text{i}$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\text{i}$

C. $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\text{i}$　　　　　　　　　　　　D. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解旋转的几何意义：在复平面中，将一个复数对应的向量绕原点旋转，等价于将该复数乘以一个模为 $1$ 的旋转复数。
2. 确定旋转复数：由于是顺时针旋转 $\frac{2\pi }{3}$，对应的辐角改变量为 $-\frac{2\pi }{3}$．因此旋转复数为 $z_{\text{旋转}}=\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)$．
3. 计算乘积：将原复数 $1+\text{i}$ 与旋转复数相乘，展开并化简为代数形式。

✍ 【详细解析】

解：设原复数为 $z_0=1+\text{i}$． 因为向量按顺时针方向旋转 $\frac{2\pi }{3}$，根据复数乘法的几何意义，所需乘以的旋转复数为： $z_1=\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$

设旋转后所得向量对应的复数为 $z$，则： $z=z_0\cdot z_1=(1+\text{i})\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)$

展开计算得： $z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}-\frac{1}{2}\text{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}{\text{i}}^2$ $z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}-\frac{1}{2}\text{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

将实部与虚部分别合并： $z=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)+\left(\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\right)\text{i}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\text{i}$

故正确选项为 (D)．

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘法与复平面内旋转变换的对应关系。
2. 核心方法：乘数构造法。牢记“逆时针旋转 $\theta$ 乘 $\cos \theta +\text{i}\sin \theta$”，则“顺时针旋转 $\theta$ 乘 $\cos (-\theta )+\text{i}\sin (-\theta )$”。
3. 避坑指南：极其容易混淆旋转方向。数学中复平面、极坐标及三角函数的正方向均规定为逆时针。因此，顺时针旋转时辐角必须取负值（即 $-\frac{2\pi }{3}$），若误用逆时针公式会错选为 (A)．

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中复数的几何意义和复数乘法的几何运算规律。复数乘法表示的“模长相乘，辐角相加”是连接代数运算与平面几何变换的重要桥梁。
2. 结论推广：若将复数 $z_0$ 对应的向量绕原点逆时针旋转 $\theta$ 并伸缩 $\rho$ 倍，则变换后的复数 $z=z_0\cdot \rho (\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$．这一结论在解析几何中处理正方形、等边三角形等旋转对称图形的顶点坐标时有广泛应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-15 单-复数模的最值
• 1991-全国卷理-22 解-复数的模与辐角主值
• 1993-上海-22 解-复数的运算与模