1993-上海-03 填-复数的辐角主值

本题导读

本题考查复数的辐角主值，以及三角形式中辐角的规范化。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 设 $z=\cos \frac{7\pi }{5}+i\sin \frac{7\pi }{5}$，$i$ 是虚数单位，则 $z$ 的辐角主值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{7\pi }{5}>\pi$，减去 $2\pi$ 得 $-\frac{3\pi }{5}$，加 $2\pi$ 归到 $[0,2\pi )$ 得 $\frac{7\pi }{5}-2\pi =-\frac{3\pi }{5}$，主值取 $2\pi -\frac{3\pi }{5}=\frac{7\pi }{5}$？规范为 $\frac{3\pi }{5}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3\pi }{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$z=\cos \frac{7\pi }{5}+i\sin \frac{7\pi }{5}$。因 $\frac{7\pi }{5}\in (\pi ,2\pi )$，其等价角 $\frac{7\pi }{5}-2\pi =-\frac{3\pi }{5}$ 不在主值区间 $[0,2\pi )$ 内，故加 $2\pi$ 得主值 $\frac{3\pi }{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角主值

核心方法：$z=\cos \frac{7\pi }{5}+i\sin \frac{7\pi }{5}$，辐角主值取 $[0,2\pi )$ 内等价角 $\frac{3\pi }{5}$

避坑指南：$\frac{7\pi }{5}$ 减去 $2\pi$ 得 $-\frac{3\pi }{5}$，加 $2\pi$ 归到主值区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数的三角形式

结论推广：辐角主值限定在 $[0,2\pi )$

方法推广：超出区间要加减 $2\pi$ 归位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件
• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值
• 1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件