1990-广东文-15 单-复数的三角形式

本题导读

本题考查复数化为三角形式，以及辐角的确定。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 复数 $(\sqrt{3}-\mathrm{i}{)}^3$ 的三角形式是 ()

A. $8(\cos 90^{\circ }+\mathrm{i}\sin 90^{\circ })$　　　B. $8(\cos 90^{\circ }-\mathrm{i}\sin 90^{\circ })$　　　C. $8(\cos 180^{\circ }+\mathrm{i}\sin 180^{\circ })$　　　D. $8(\cos 270^{\circ }+\mathrm{i}\sin 270^{\circ })$

🔍【思路分析】

破题导航

先求 $\sqrt{3}-\mathrm{i}$ 的模与辐角，再立方。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{3}-\mathrm{i}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)$，故 $(\sqrt{3}-\mathrm{i}{)}^3=2^3\left(\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)=8(\cos 270^{\circ }+\mathrm{i}\sin 270^{\circ })$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式

核心方法：先算 (√3−i)³，再化为三角形式。

避坑指南：复数三角形式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角形式需模与辐角。

结论推广：(√3−i)³=8(cos(−π/2)+isin(−π/2))。

方法推广：辐角主值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-三南-09 单-复数的辐角主值
• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围