1987-广东理-06 单-复数的辐角

本题导读

本题考查复数的辐角。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 若复数 $z=(a+\mathrm{i}{)}^2$ 的辐角是 $\frac{3\pi }{2}$，则实数 $a$ 的值是()

A. $1$　　　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　　　C. $-\sqrt{2}$　　　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

$z=a^2-1+2a\mathrm{i}$，辐角 $\frac{3\pi }{2}$ 需实部 $0$、虚部负。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$z=(a+\mathrm{i}{)}^2=a^2-1+2a\mathrm{i}$。辐角 $\frac{3\pi }{2}$ 表示在负虚轴上，故 $a^2-1=0$ 且 $2a<0$，得 $a=-1$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角

核心方法：$z=(a+\mathrm{i}{)}^2=a^2-1+2a\mathrm{i}$，辐角 $\frac{3\pi }{2}$ 需实部 $0$、虚部负。

避坑指南：$a^2-1=0$ 且 $2a<0$，得 $a=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数辐角。

结论推广：$(a+i{)}^2$ 展开分析实虚部。

方法推广：由辐角定实虚部符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-24 单-复数的辐角与位置
• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式
• 1988-全国文-16 填-复数的模与辐角主值