1988-全国卷理-12 单-复数的几何意义

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及复平面的两点间距离。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 在复平面内，若复数 $z$ 满足 $|z+1|=|z-\text{i}|$，则 $z$ 所对应的点 $Z$ 的集合构成的图形是 ()

A. 圆　　　　　　　B. 直线　　　　　　　C. 椭圆　　　　　　　D. 双曲线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何法： 将方程变形为 $|z-(-1)|=|z-\text{i}|$。根据复数减法的几何意义，该方程表示动点 $Z$ 到定点 $A(-1,0)$ 与定点 $B(0,1)$ 的距离相等。到两定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，即一条直线。
2. 代数法： 设 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，代入原方程，两边平方化简，可直接得到关于 $x,y$ 的一次方程，从而确定图形为直线。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何法 原方程可化为： $|z-(-1)|=|z-\text{i}|$ 在复平面内， $|z-(-1)|$ 表示动点 $Z(z)$ 到定点 $A(-1)$ 的距离， $|z-\text{i}|$ 表示动点 $Z(z)$ 到定点 $B(\text{i})$ 的距离。 因为动点 $Z$ 到两定点 $A,B$ 的距离恒相等，所以点 $Z$ 的轨迹是以 $A(-1,0)$ 和 $B(0,1)$ 为端点的线段的垂直平分线。 故其构成的图形是一条直线。

方法二：代数法 设 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，代入方程 $|z+1|=|z-\text{i}|$ 得： $|(x+1)+y\text{i}|=|x+(y-1)\text{i}|$ 根据复数模的计算公式，两边平方得： $(x+1{)}^2+y^2=x^2+(y-1{)}^2$ 展开并化简： $x^2+2x+1+y^2=x^2+y^2-2y+1$ $2x+2y=0⟹x+y=0$ 该方程为二元一次方程，在平面直角坐标系中表示一条直线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 复数模的几何意义 $|z-z_0|$ 表示两点间的距离；求复平面内动点的轨迹图形。
2. 核心方法： - 数形结合法： 识别出 $|z-z_1|=|z-z_2|$ 是垂直平分线的经典几何模型，可直接。
   • 坐标代入法： 当几何意义不明显时，通过设 $z=x+y\text{i}$ 转化为解析几何中的曲线方程问题。
3. 避坑指南： - 混淆复数运算符号，错把 $|z+1|$ 当作到 $(1,0)$ 的距离，应化为 $|z-(-1)|$ 对应到 $(-1,0)$ 的距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于复数与解析几何交叉的基础题型，源于教材中对复数模几何意义的直接应用，是后续高考中复数题型考查动点轨迹及最值问题的雏形。
2. 结论推广： 在复平面内，若 $z_1\ne z_2$：
   • 方程 $|z-z_1|=|z-z_2|$ 的轨迹是连接 $z_1$ 与 $z_2$ 两点线段的垂直平分线。
   • 方程 $|z-z_1|+|z-z_2|=2a$ ($2a>|z_1-z_2|$) 的轨迹是椭圆。
   • 方程 $||z-z_1|-|z-z_2||=2a$ ($0<2a<|z_1-z_2|$) 的轨迹是双曲线。
   • 方程 $|z-z_0|=r$ ($r>0$) 的轨迹是圆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-24 单-复数的辐角与位置
• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式
• 1990-广东文-30 填-复数模的运算