1988-全国卷理-16 填-复数的模与辐角主值

本题导读

本题考查复数的模，以及辐角的主值。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 求复数 $\sqrt{3}-\text{i}$ 的模和辐角的主值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算模长： 设复数 $z=a+b\text{i}$，利用模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 直接求解。
2. 确定象限与辐角： 根据实部为正、虚部为负判断点在第四象限，结合三角函数关系 $\tan \theta =\frac{b}{a}$，并在辐角主值范围 $[0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$ 内确定对应的主值 $\theta$（现行教材通常取 $[0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$，当年高考试题标准答案通常采用 $[0,2\pi )$，即 $-\frac{\pi }{6}$ 对应为 $\frac{11\pi }{6}$，或直接写作 $-\frac{\pi }{6}$，均符合题意）。

✅【答案】

Success

$2$；$\frac{11\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设复数 $z=\sqrt{3}-\text{i}$。

1. 求复数的模： $|z|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=2$

2. 求辐角的主值： 设复数 $z$ 的辐角为主值 $\theta$。 由于 $z$ 的实部 $a=\sqrt{3}>0$，虚部 $b=-1<0$， 可知该复数对应的点 $(\sqrt{3},-1)$ 位于第四象限。 且满足： $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \theta =-\frac{1}{2}$

   若辐角主值范围规定为 $[0,2\pi )$，则： $\theta =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$ 若辐角主值范围规定为 $(-\pi ,\pi ]$，则： $\theta =-\frac{\pi }{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 复数的模与辐角主值的定义。
2. 核心方法： * 三角代入法： 将复数提取模长化为三角形式 $z=r(\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$，直接读取 $r$ 和 $\theta$。 $\sqrt{3}-\text{i}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\text{i}\right)=2\left[\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right]$
3. 避坑指南： * 确定辐角时必须先判断复数在复平面内所在的象限，避免仅通过 $\tan \theta =-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 误判到第二象限。
   • 注意各时期教材对辐角主值范围的界定差异，规范书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是复数代数形式向三角形式（或指数形式）转化的基础必修题，是复数乘除法、乘方、开方（隶莫弗定理）运算的技术铺垫。
2. 结论推广： 任何非零复数 $z=x+y\text{i}$ 都可以唯一地写成欧拉公式的形式 $z=r{\text{e}}^{\text{i}\theta }$，其中 $r=|z|$ 为模，$\theta =\arg z$ 为辐角主值。本题写成指数形式即为： $\sqrt{3}-\text{i}=2{\text{e}}^{-\frac{\pi }{6}\text{i}}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式
• 1990-广东理-24 单-复数的辐角与位置
• 1989-广东文-23 单-复数的集合