1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式

本题导读

本题考查对数函数的定义域与不等式的求解。核心在于先定定义域，再用对数单调性。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 已知 $f(x)={\log }_3(4+3x-x^2)-{\log }_3(2x-1)$.

(1)求函数 $f(x)$ 的定义域；

(2)解不等式 $f(x)>{\log }_{3}2$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由真数为正求定义域；（2）用对数单调性化为一元二次不等式。

✅【答案】

Success

(1)$\left\{x\mid \frac{1}{2}<x<4\right\}$；(2)$\left\{x\mid \frac{1}{2}<x<2\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\{\begin{array}{l}4+3x-x^2>0\\ 2x-1>0\end{array}$，即 $\{\begin{array}{l}-(x-4)(x+1)>0\\ x>\frac{1}{2}\end{array}$，得 $\frac{1}{2}<x<4$。故定义域为 $\left\{x\mid \frac{1}{2}<x<4\right\}$。

（2）$f(x)>{\log }_{3}2$ 即 ${\log }_3\frac{4+3x-x^2}{2x-1}>{\log }_{3}2$。因底数 $3>1$，得 $\frac{4+3x-x^2}{2x-1}>2$。因 $2x-1>0$，得 $4+3x-x^2>4x-2$，即 $-x^2-x+6>0$，$-(x+3)(x-2)>0$，得 $-3<x<2$。结合定义域得 $\frac{1}{2}<x<2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的定义域与不等式

核心方法：先定定义域，再用对数单调性解不等式。

避坑指南：对数不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式先定定义域。

结论推广：log3 递增。

方法推广：底数>1

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-18 填-对数不等式的求解
• 1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数