1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解

本题导读

本题考查含参对数不等式的求解。核心在于按 $a$ 与 $\frac{1}{2}$、$1$ 的大小分类讨论去掉绝对值。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 解关于实数 $x$ 的不等式 $\left|({\log }_{a}x{)}^2-1\right|>2a-1$，其中 $a>0$，$a\ne 1$.

🔍【思路分析】

破题导航

按 $0<a<\frac{1}{2}$、$a=\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}<a<1$、$a>1$ 分类，去掉绝对值后利用对数单调性求解。

✅【答案】

Success

当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时 $x>0$；当 $a=\frac{1}{2}$ 时 $0<x<\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}<x<2$ 或 $x>2$；当 $\frac{1}{2}<a<1$ 时 $0<x<a^{\sqrt{2a}}$ 或 $a^{\sqrt{2(1-a)}}<x<a^{-\sqrt{2(1-a)}}$ 或 $x>a^{-\sqrt{2a}}$；当 $a>1$ 时 $0<x<a^{-\sqrt{2a}}$ 或 $x>a^{\sqrt{2a}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，$2a-1<0$，绝对值式恒大于负数，解为 $x>0$。（2）当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$|({\log }_{\frac{1}{2}}x{)}^2-1|>0$，即 $({\log }_{\frac{1}{2}}x{)}^2\ne 1$，得 $x>0$ 且 $x\ne \frac{1}{2},2$。（3）当 $a>\frac{1}{2}$ 时分两种情况：若 $({\log }_{a}x{)}^2-1>2a-1$，则 $({\log }_{a}x{)}^2>2a$，得 ${\log }_{a}x<-\sqrt{2a}$ 或 ${\log }_{a}x>\sqrt{2a}$；若 $-({\log }_{a}x{)}^2+1>2a-1$，则 $({\log }_{a}x{)}^2<2(1-a)$（此时须 $\frac{1}{2}<a<1$）。结合底数 $a$ 与 $1$ 的大小关系分段写出解集。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参对数不等式的求解

核心方法：按 a 与 1/2、1 的大小分类讨论去掉绝对值后解对数不等式。

避坑指南：分类讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参对数不等式需分类讨论。

结论推广：|(logₐx)²−1|>2a−1 按 a 与 1/2、1 分类。

方法推广：注意底数对单调性影响

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1991-全国文-18 填-对数不等式的求解
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数