1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式

本题导读

本题考查含参数的对数不等式。核心在于按底数大于 1 或小于 1 分类讨论对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 解不等式：${\log }_a(x+1-a)>1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由对数的定义确定 $a$ 的范围与真数条件。
2. 按 $a>1$ 与 $0<a<1$ 分别讨论单调性。

✅【答案】

Success

当 $a>1$ 时，$x>2a-1$；当 $0<a<1$ 时，$a-1<x<2a-1$

✍【详细解析】

Abstract

由对数定义，$a>0$ 且 $a\ne 1$，且真数 $x+1-a>0$。又 $1={\log }_{a}a$。 当 $a>1$ 时，$y={\log }_{a}x$ 单调递增，由 ${\log }_a(x+1-a)>{\log }_{a}a$ 得 $x+1-a>a$，即 $x>2a-1$，解集为 $(2a-1,+\infty )$。 当 $0<a<1$ 时，$y={\log }_{a}x$ 单调递减，得 $0<x+1-a<a$，即 $a-1<x<2a-1$，解集为 $(a-1,2a-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参对数不等式

核心方法：${\log }_a(x+1-a)>1$：由 $1={\log }_{a}a$，当 $a>1$ 时 $x+1-a>a$ 得 $x>2a-1$；当 $0<a<1$ 时 $0<x+1-a<a$ 得 $a-1<x<2a-1$

避坑指南：按底数大小分类讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数不等式

结论推广：一般地，按底数大于 1 或小于 1 分类

方法推广：按底数分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-20 解-含参二次不等式的解法
• 2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集
• 1999-上海文-17 解-集合包含与分式不等式