1993-新高考文-25 解-对数函数的定义域、奇偶性与取值范围

本题导读

本题考查对数函数的定义域、奇偶性与取值范围。核心在于按底数分类解不等式。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 已知 $f(x)={\log }_a\frac{1+x}{1-x}$（$a>0$，$a\ne 1$）.

(1)求 $f(x)$ 的定义域；

(2)判断 $f(x)$ 的奇偶性并予以证明；

(3)求使 $f(x)>0$ 的 $x$ 取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

真数大于零定定义域；$f(-x)=-f(x)$ 判奇偶；$f(x)>0$ 按 $a>1$ 与 $0<a<1$ 分类。

✅【答案】

Success

(1)$(-1,1)$；(2)奇函数；(3)$a>1$ 时 $0<x<1$，$0<a<1$ 时 $-1<x<0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\frac{1+x}{1-x}>0$ 得 $-1<x<1$，故定义域为 $(-1,1)$。 （2）$f(-x)={\log }_a\frac{1-x}{1+x}={\log }_a{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^{-1}=-{\log }_a\frac{1+x}{1-x}=-f(x)$，故 $f(x)$ 是奇函数。 （3）当 $a>1$ 时，$f(x)>0$ 等价于 $\frac{1+x}{1-x}>1$，即 $\frac{2x}{1-x}>0$，解得 $0<x<1$；当 $0<a<1$ 时，不等号反向，$0<\frac{1+x}{1-x}<1$，解得 $-1<x<0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的定义域、奇偶性与取值范围

核心方法：定义域 $(-1,1)$；$f(-x)=-f(x)$ 奇；$a>1$ 时 $x\in (0,1)$，$0<a<1$ 时 $x\in (-1,0)$

避坑指南：真数不等式按底数分类去对数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数函数性质

结论推广：${\log }_a\frac{1+x}{1-x}$ 是奇函数且按 $a$ 分类单调

方法推广：定义域、奇偶、解不等式三步走

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-25 解-对数方程的求解
• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集