1993-旧高考文-25 解-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解。核心在于合并对数化为二次方程，并作定义域验根。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 解方程：$\lg (x^2+4x-26)-\lg (x-3)=1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由真数大于零确定定义域 $x>3$（另一条件自动满足）。
2. 合并对数得 $\frac{x^2+4x-26}{x-3}=10$。
3. 化二次方程求解后回代验根。

✅【答案】

Success

$x=3+\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

真数条件：$x-3>0$ 且 $x^2+4x-26>0$（根 $-2\pm \sqrt{30}$），结合得定义域 $x>-2+\sqrt{30}$。 原方程化为 $\lg \frac{x^2+4x-26}{x-3}=1$，即 $\frac{x^2+4x-26}{x-3}=10$，整理得 $x^2-6x+4=0$，解得 $x=3\pm \sqrt{5}$。 其中 $3-\sqrt{5}<3$ 不满足定义域，舍去；$3+\sqrt{5}>-2+\sqrt{30}$ 满足。故原方程的解为 $x=3+\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：合并对数得 $\frac{x^2+4x-26}{x-3}=10$，解 $x=3\pm \sqrt{5}$，经定义域检验舍去 $3-\sqrt{5}$

避坑指南：对数方程必须验根：真数大于零与定义域双重检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数方程与对数性质

结论推广：$\lg A-\lg B=1$ 等价于 $\frac{A}{B}=10$ 且 $A,B>0$

方法推广：对数方程先化真数方程，定义域验根不可省

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解
• 1994-上海-04 填-对数方程的求解
• 2006-上海文-08 填-对数方程化同底