1992-全国文-21 填-指数方程的求解

本题导读

本题考查指数方程的求解，以及换元法的应用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 方程 $\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3$ 的解是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母同乘 $3^x$：$\frac{3^x+1}{3^x(1+3^x)}=\frac{1}{3^x}=3$，得 $3^x=\frac{1}{3}$，$x=-1$。

✅【答案】

Success

$x=-1$

✍【详细解析】

Abstract

方程 $\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3$。分子分母同乘 $3^x$：$\frac{3^x+1}{3^x(1+3^x)}=\frac{1}{3^x}=3$，故 $3^x=\frac{1}{3}=3^{-1}$，$x=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程的求解

核心方法：$\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3$ 即 $\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3$，令 $t=3^x$ 解得 $x=-1$

避坑指南：换元 $3^x=t$ 解分式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于指数方程

结论推广：换元 $3^x=t$ 化分式

方法推广：换元后注意 $t>0$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-21 解-指数方程的解法
• 1993-旧高考文-25 解-对数方程的求解
• 1994-上海-04 填-对数方程的求解