1991-全国卷理-09 单-组合计数

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及组合数公式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有 ()

A. 140 种　　　　　　B. 84 种　　　　　　C. 70 种　　　　　　D. 35 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直接分类法：取出 3 台电视机且甲、乙两型至少各 1 台，其合理的组合情况只有两类：
   • 第一类：取出 1 台甲型和 2 台乙型；
   • 第二类：取出 2 台甲型和 1 台乙型。 分别利用组合数公式求出两类的取法种数，再根据加法原理求和。
2. 间接排除法：先计算从全部 9 台电视机中任取 3 台的总取法数 $C_9^3$，再排除不符合题意的情况（即全为甲型 $C_4^3$ 或全为乙型 $C_5^3$）。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一（直接分类法）： 根据题意，不同的取法可以分为以下两类：

第一类，取出 1 台甲型电视机和 2 台乙型电视机： 种数为 $C_4^1\cdot C_5^2=4\times \frac{5\times 4}{2}=4\times 10=40$ 种。

第二类，取出 2 台甲型电视机和 1 台乙型电视机： 种数为 $C_4^2\cdot C_5^1=\frac{4\times 3}{2}\times 5=6\times 5=30$ 种。

根据分类加法计数原理，总的不同取法共有： $40+30=70\text{ 种}$

解法二（间接排除法）： 从 4 台甲型和 5 台乙型共 9 台电视机中任意取出 3 台的总取法种数为： $C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84\text{ 种}$

其中，不符合题意（即不同时包含甲、乙两型）的情况有：

1. 取出的 3 台全为甲型电视机： $C_4^3=4$ 种；
2. 取出的 3 台全为乙型电视机： $C_5^3=10$ 种。

因此，符合题意的不同取法共有： $84-4-10=70\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类加法计数原理、分步乘法计数原理与组合数的运算。
2. 核心方法：处理“至少”或“至多”的限制条件问题时，常用直接分类法或间接排除法。
3. 避坑指南：若采用先从甲型、乙型中各抽 1 台（$C_4^1\cdot C_5^1$），再从剩下的 7 台中任抽 1 台（$C_7^1$）的方法，会导致计算结果为 $4\times 5\times 7=140$ 种（即选项 A）。这种做法会造成重复计数（例如先抽甲1乙1再抽甲2，与先抽甲2乙1再抽甲1属于同一种取法），是排列组合中经典的学生易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的组合应用题，直接源于高中数学必修教材中“排列与组合”一章的经典例题，旨在考查考生对不重复、不遗漏计数原则的把握。
2. 结论推广：从 $m$ 个 A 类元素和 $n$ 个 B 类元素中任取 $r$ 个（$r<m+n$），要求两类元素至少各 1 个的取法，当 $r=3$ 时，通用计算公式为 $C_{m+n}^3-C_m^3-C_n^3$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-15 单-排列数的实际应用（三位偶数）
• 1993-上海-04 填-受限排列的计数
• 1992-全国文-21 填-指数方程的求解