1990-全国卷理-13 单-排列计数

本题导读

本题考查排列与组合，以及定序排列问题。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） $A,B,C,D,E$ 五人并排站成一排，如果 $B$ 必须站在 $A$ 的右边（$A,B$ 可以不相邻），那么不同的排法共有 ()

A. 24 种　　　　　　B. 60 种　　　　　　C. 90 种　　　　　　D. 120 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本全排列计数：不加任何限制条件时，5人全排列的总数为 ${\text{A}}_5^5$。
2. 利用对称性分析：在所有的全排列中，根据位置的相对关系，$B$ 站在 $A$ 的右边与 $B$ 站在 $A$ 的左边这两类情况具有完全对称性，且出现的概率均等。
3. 计算目标种数：将总排列数进行等分处理，即可直接得到满足特定相对顺序的排法种数。或采用组合选位法，先在5个位置中选出2个安置 $A$ 和 $B$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（对称消序法）： 5个人并排站成一排，如果不考虑任何附加条件，其全排列总种数为： $N_{\text{总}}={\text{A}}_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\text{ 种}$

在这 120 种排法中，由于 $A$ 与 $B$ 的地位对称，因此 $B$ 站在 $A$ 的右边的排法种数，与 $B$ 站在 $A$ 的左边的排法种数必然完全相等。 由于不存在第三种相对位置关系（即同一位置不能站两个人），故满足 “$B$ 必须站在 $A$ 的右边” 的排法种数刚好占总数的一半： $N=\frac{1}{2}{N}_{\text{总}}=\frac{120}{2}=60\text{ 种}$

解法二（组合选位法）： 在5个并排的位置中，首先挑选出2个位置给 $A$ 和 $B$，共有 ${\text{C}}_5^2$ 种选法。 因为题目要求 $B$ 必须在 $A$ 的右边，所以在这选出的2个位置中，$A$ 只能填在左边那位置，$B$ 只能填在右边那位置，只有 1 种固定的坐法。 剩余的 3 个位置由 $C,D,E$ 三个人进行全排列，共有 ${\text{A}}_3^3$ 种坐法。 根据分步乘法计数原理，不同的排法共有： $N={\text{C}}_5^2\times 1\times {\text{A}}_3^3=\frac{5\times 4}{2\times 1}\times 1\times (3\times 2\times 1)=10\times 6=60\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定序排列问题（元素相对顺序固定），组合数与排列数的混合应用。
2. 核心方法：
   • 除法消序法（等分法）：若有 $k$ 个元素的相对顺序被完全固定，只需先进行无条件全排列 ${\text{A}}_n^n$，再除以这 $k$ 个元素的内部全排列数 ${\text{A}}_k^k$。本题即为 $\frac{{\text{A}}_5^5}{{\text{A}}_2^2}=60$。
   • 组合选位法：先从 $n$ 个空位中为定序元素选出 $k$ 个坑位，由于顺序固定故排法唯一，其余元素再全排列。
3. 避坑指南：
   • 混淆“右边”与“相邻右边”：题目括号中明确注明“$A,B$ 可以不相邻”。若误用“捆绑法”将 $AB$ 视为一个整体，会算成 ${\text{A}}_4^4=24$ 种从而错选 (A)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于计数原理部分关于“特殊顺序”限制的经典构型，源于教材排列应用题的拓展延伸。此类“相对位置固定”的概率模型在统计物理学（如费米-狄拉克统计中粒子状态的分布计数）中有重要基础应用。
2. 结论推广：设有 $n$ 个不同的元素进行全排列，其中有 $m$ 个特定元素的相对前后顺序已经完全确定。则满足该限制条件的不同排列总种数通项公式为： $V=\frac{{\text{A}}_n^n}{{\text{A}}_m^m}={\text{C}}_n^m\cdot {\text{A}}_{n-m}^{n-m}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1992-上海-09 填-排列计数
• 1991-三南-13 单-数字排列的计数
• 1991-全国卷理-09 单-组合计数