1990-上海卷-10 填-矩形的计数

本题导读

本题考查组合计数原理，以及矩形的几何构成特征。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有$\underline{}$个 (结果用数值表示).

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析矩形的构成条件：在平面直角坐标系或网格结构中，任何一个矩形都是由两组互相垂直的平行线段作为边界围成的。
2. 转化为组合数学模型：要确定一个唯一的矩形，只需要从第一组 4 条平行直线中任意挑选出 2 条（作为矩形的一组相对边界），再从第二组 5 条平行直线中任意挑选出 2 条（作为矩形的另一组相对边界）。
3. 应用乘法原理计算：将两个选线步骤的组合数相乘，即可得到能组成的不同矩形的总个数。

✅【答案】

Success

$60$

✍【详细解析】

Abstract

在平面上，要构成一个矩形，必须且只需在水平方向（或第一组）的平行线中选出 2 条作为左右（或上下）边界，同时在垂直方向（或第二组）的平行线中选出 2 条作为上下（或左右）边界。

1. 从第一组 4 条平行直线中任取 2 条，组合数为： ${\text{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6\text{ 种}$

2. 从另外五条互相垂直的平行直线中任取 2 条，组合数为： ${\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，这两组选出的直线两两相交，所构成的矩形总个数为： $N={\text{C}}_4^2\times {\text{C}}_5^2=6\times 10=60\text{ 个}$

填空答案为：60

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：几何图形的组合计数，组合数公式 ${\text{C}}_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ 的应用，分步乘法计数原理。
2. 核心方法：边界选线法。处理由平行线网格构成的矩形、平行四边形计数问题时，切忌地单个或分类去数（容易漏算大矩形），统一转化为“选定边界”的组合思想是最高效、最不易错的策略。
3. 避坑指南：
   • 误用排列代替组合：选出的 2 条直线不需要考虑先后顺序（比如选直线 $L_1,L_2$ 和选 $L_2,L_1$ 围出的是同一个矩形），因此必须用组合数 ${\text{C}}_n^2$，而不能误用排列数 ${\text{A}}_n^2$。
   • 题目细节审视：注意结果要求“用数值表示”，不宜在横线上保留 ${\text{C}}_4^2\cdot {\text{C}}_5^2$ 的算式形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于网格几何计数的经典问题，源自教材中“组合的应用”章节中关于“平行四边形个数”的例题变式，用以训练学生将直观几何对象向抽象离散数学模型转化的思维。
2. 结论推广：在平面上，若有 $m$ 条平行直线与另外 $n$ 条平行直线互相交错（夹角为任意角 $\theta$）：
   • 当 $\theta =90^{\circ }$ 时，它们共同围成的矩形个数为： $V={\text{C}}_m^2\cdot {\text{C}}_n^2=\frac{m(m-1)n(n-1)}{4}$ 个；
   • 当 $\theta \ne 90^{\circ }$ 时，它们共同围成的平行四边形个数公式完全相同，仍为 $V={\text{C}}_m^2\cdot {\text{C}}_n^2$。这一模型在晶体学点阵空间分析及图论网络覆盖度量中是极其核心的基础计数单元。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1992-上海-09 填-排列计数
• 1991-三南-13 单-数字排列的计数
• 1991-全国卷理-09 单-组合计数