1992-三南-24 解-指数方程的求解

本题导读

本题考查指数方程的求解。核心在于换元降次后讨论参数 $a$ 的取值。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 已知关于 $x$ 的方程 $2a^{2x-2}-7a^{x-1}+3=0$ 有一个根是 $2$，求 $a$ 的值和方程其余的根.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=a^{x-1}$，化为 $2t^2-7t+3=0$，$t=\frac{1}{2}$ 或 $3$。已知 $x=2$ 是根，代入得 $a=\frac{1}{2}$ 或 $3$，再分别求另一根。

✅【答案】

Success

$a=\frac{1}{2}$ 或 $a=3$；另一根分别为 $x=1+{\log }_{\frac{1}{2}}3$、$x=1-{\log }_{3}2$

✍【详细解析】

Abstract

指数式有意义且为指数函数底数，须 $a>0$ 且 $a\ne 1$。令 $t=a^{x-1}$，原方程化为 $2t^2-7t+3=0$，即 $(2t-1)(t-3)=0$，故 $t=\frac{1}{2}$ 或 $t=3$。已知 $x=2$ 是方程的根，代入 $t=a^{2-1}=a$，故 $a=\frac{1}{2}$ 或 $a=3$。当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$t=\frac{1}{2}$ 给出已知根 $x=2$，另一根满足 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}=3$，故 $x-1={\log }_{\frac{1}{2}}3$，即 $x=1+{\log }_{\frac{1}{2}}3$。当 $a=3$ 时，$t=3$ 给出已知根 $x=2$，另一根满足 $3^{x-1}=\frac{1}{2}$，故 $x-1={\log }_3\frac{1}{2}=-{\log }_{3}2$，即 $x=1-{\log }_{3}2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程的求解

核心方法：令 $t=a^{x-1}$ 得 $2t^2-7t+3=0$，$a=\frac{1}{2}$ 或 $3$

避坑指南：换元解指数方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数方程的换元解法

结论推广：令 $t=a^{x-1}$ 化二次方程

方法推广：换元降次

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-21 填-指数方程的求解
• 1995-全国卷文-21 解-指数方程的解法
• 2004-全国卷III文-17 解-指数方程换元