1995-全国卷文-21 解-指数方程的解法

本题导读

本题考查指数方程的解法。核心在于换元把指数方程化为一元二次方程。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 解方程 $3^{x+2}-3^{2-x}=80$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为同底：$9\cdot 3^x-\frac{9}{3^x}=80$，设 $a=3^x>0$。
2. 解一元二次方程后还原。

✅【答案】

Success

$x=2$

✍【详细解析】

Abstract

原方程即 $9\cdot 3^x-9\cdot 3^{-x}=80$。设 $a=3^x>0$，则 $9a-\frac{9}{a}=80$，两边乘 $a$ 得 $9a^2-80a-9=0$。判别式 $\Delta =(-80{)}^2-4\cdot 9\cdot (-9)=6400+324=6724=82^2$，故 $a=\frac{80\pm 82}{18}$，即 $a=9$ 或 $a=-\frac{1}{9}$。由 $a>0$ 舍去负根，故 $3^x=9=3^2$，得 $x=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程的解法

核心方法：设 $a=3^x>0$：$9a^2-80a-9=0$，$\Delta =82^2$，$a=9$，$x=2$

避坑指南：换元化二次方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材指数方程

结论推广：一般地，$f(a^x)=0$ 型设 $a$ 后化二次方程，注意 $a^x>0$ 的取舍

方法推广：换元化二次

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解
• 1997-上海文-07 填-对数方程的求解