1997-上海文-07 填-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解，以及对数真数须大于零的检验。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） 方程 $\lg (1-3x)=\lg (3-x)+\lg (7+x)$ 的解是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对数运算性质合并。
2. 化整式方程求解并验真数。

✅【答案】

Success

$x=-5$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\lg (1-3x)=\lg (3-x)+\lg (7+x)=\lg [(3-x)(7+x)]$，得 $1-3x=(3-x)(7+x)$，即 $1-3x=21-4x-x^2$，整理得 $x^2+x-20=0$，解得 $x=4$ 或 $x=-5$。又须真数 $1-3x>0$，即 $x<\frac{1}{3}$，故 $x=4$ 舍去，$x=-5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：由 $\lg (1-3x)=\lg (3-x)+\lg (7+x)$ 得 $1-3x=(3-x)(7+x)$ 且须 $1-3x>0$，解 $x^2+7x+10=0$ 得 $x=-2$（舍，因 $1-3x>0$ 不满足）或 $x=-5$，故 $x=-5$

避坑指南：对数化整 + 验真数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数方程

结论推广：一般地，解对数方程须验真数大于零

方法推广：对数化整 + 验真数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-01 填-对数的运算
• 1998-上海理-11 填-指数函数的最值
• 1999-全国卷文-11 单-三角函数的大小比较