1999-全国卷文-11 单-三角函数的大小比较

本题导读

本题考查三角函数的大小比较，以及由 $\sin \alpha >\tan \alpha >\cot \alpha$ 确定角的范围。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 若 $\sin \alpha >\tan \alpha >\cot \alpha$（$-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$），则 $\alpha \in$()

A. $\left(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{4}\right)$　　　　B. $\left(-\frac{\pi }{4},0\right)$　　　　C. $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$　　　　D. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin \alpha >\tan \alpha$ 且 $\cos \alpha >0$ 得 $\sin \alpha <0$。
2. 由 $\tan \alpha >\cot \alpha$ 得 $-1<\tan \alpha <0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在给定区间内 $\cos \alpha >0$。由 $\sin \alpha >\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$，得 $\sin \alpha \left(1-\frac{1}{\cos \alpha }\right)>0$。由于 $0<\cos \alpha \le 1$，括号内因子 $\le 0$，故须 $\sin \alpha <0$，即 $\alpha <0$。令 $t=\tan \alpha$，此时 $t<0$，且 $\tan \alpha >\cot \alpha$ 等价于 $t>\frac{1}{t}$，乘以负数 $t$ 后不等号反向得 $t^2<1$，即 $-1<t<0$。因正切函数在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上递增，故 $-\frac{\pi }{4}<\alpha <0$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的大小比较

核心方法：$\sin \alpha >\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 且 $\cos \alpha >0$ 得 $\sin \alpha <0$，即 $\alpha <0$；$\tan \alpha >\cot \alpha$ 得 $-1<\tan \alpha <0$，故 $-\frac{\pi }{4}<\alpha <0$，选 B

避坑指南：化为 tan 区间判定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的大小比较

结论推广：一般地，$\tan \alpha >\cot \alpha ⟺\tan \alpha >1$ 或 $-1<\tan \alpha <0$。不能写成 ${\tan }^2\alpha >1$——那个条件放进来的是”绝对值大于 $1$“，而 $\tan \alpha <-1$ 时不等式并不成立（取 $\tan \alpha =-2$，则 $\cot \alpha =-\frac{1}{2}$，$-2<-\frac{1}{2}$）。

方法推广：化为 tan 区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-06 单-角与三角函数不等式的充要关系
• 2008-天津文-09 单-三角函数比较大小
• 2007-北京文-01 单-象限角符号判断