1990-全国卷理-01 单-指数方程与对数

本题导读

本题考查指数方程的解法，以及对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 方程 $2^{{\log }_{3}x}=\frac{1}{4}$ 的解是 ()

A. $x=\frac{1}{9}$　　　　　　B. $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　C. $x=\sqrt{3}$　　　　　　D. $x=9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数：将方程右侧的 $\frac{1}{4}$ 写成以 $2$ 为底的幂的形式，即 $2^{-2}$．
2. 脱去底数：根据指数函数的单调性，令两侧的指数相等，得到关于 ${\log }_{3}x$ 的简易方程。
3. 求解未知数：利用对数的定义或指数互化公式解出 $x$ 的值。

✍ 【详细解析】

解：原方程为 $2^{{\log }_{3}x}=\frac{1}{4}$． 因为 $\frac{1}{4}=2^{-2}$，所以原方程可化为： $2^{{\log }_{3}x}=2^{-2}$

根据指数相等的原则，得： ${\log }_{3}x=-2$

由对数的定义，将对数式化为指数式得： $x=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$

故正确选项为 (A)．

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：本题主要考查幂的负整数指数幂性质（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$）以及对数式与指数式的互化关系（${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$）。
2. 核心方法：核心在于“化同底”，即将方程两端化为底数相同的指数幂，从而将指数方程转化为基本的对数方程求解。
3. 避坑指南：注意对数真数的基本要求 $x>0$．求得 $x=\frac{1}{9}$ 后需检验是否满足真数条件（满足）。此外，易错点在于对负指数幂的运算，不宜将 $3^{-2}$ 误算为 $-9$ 或 $\frac{1}{6}$．

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于代数基础题，直接源自高中数学教材中“指数方程与对数方程”的课后基础习题。主要用于高考卷首，考查学生对基本初等函数运算的熟练度。
2. 结论推广：此类方程可一般化为 $a^{{\log }_{b}x}=c$ （其中 $a>0,a\ne 1,b>0,b\ne 1,c>0$）。 两边取以 $a$ 为底的对数得 ${\log }_{b}x={\log }_{a}c$，再转化为指数式即可得到一般解：$x=b^{{\log }_{a}c}$． 利用对数换底公式与恒等式，该通解亦可写为 $x=c^{{\log }_{a}b}$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-04 填-对数方程的求解
• 1992-全国文-01 单-对数的运算与换底
• 1993-旧高考文-25 解-对数方程的求解