2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集

本题导读

本题考查含参不等式的求解与函数单调性。核心在于平方去根号时对参数 $a$ 分类讨论。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 设函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$，其中 $a>0$．

(1) 解不等式 $f(x)⩽1$；

(2) 证明：当 $a⩾1$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上是单调函数．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sqrt{x^2+1}⩽1+ax$，先得 $x⩾0$。
2. 平方得 $(1-a^2)x^2-2ax⩽0$，按 $0<a<1$ 与 $a⩾1$ 分类。
3. 求导判单调性。

✅【答案】

Success

(1) 当 $0<a<1$ 时，解集为 $\left[0,\frac{2a}{1-a^2}\right]$；当 $a⩾1$ 时，解集为 $[0,+\infty )$；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 不等式 $\sqrt{x^2+1}-ax⩽1$ 即 $\sqrt{x^2+1}⩽1+ax$．因左边非负，右边须非负，故 $x⩾0$．两边平方得 $x^2+1⩽(1+ax{)}^2$，即 $x^2+1⩽1+2ax+a^2{x}^2$，整理得 $(1-a^2)x^2-2ax⩽0$，即 $x[(1-a^2)x-2a]⩽0$． 当 $0<a<1$ 时，$1-a^2>0$，由 $x⩾0$ 得 $0⩽x⩽\frac{2a}{1-a^2}$； 当 $a⩾1$ 时，$(1-a^2)x-2a⩽0$ 对一切 $x⩾0$ 恒成立（$1-a^2⩽0$），故解集为 $[0,+\infty )$． (2) 求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-a$．当 $a⩾1$ 且 $x\in [0,+\infty )$ 时，$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1⩽a$，故 $f^{\prime }(x)<0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减，是单调函数．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参无理不等式的解集

核心方法：(1) $\sqrt{x^2+1}\le 1+ax$，需 $x\ge 0$，平方得 $(1-a^2)x^2-2ax\le 0$：$0<a<1$ 时 $0\le x\le \frac{2a}{1-a^2}$，$a\ge 1$ 时 $x\ge 0$；；(2) $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-a\le 1-a\le 0$，$f$ 在 $[0,+\infty )$ 单调递减

避坑指南：平方去根号分类讨论 $a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材含参不等式

结论推广：一般地，平方去根号须分类讨论参数

方法推广：平方去根号分类讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-06 单-分段函数解不等式
• 2002-大纲文-10 单-二次函数单调充要
• 2004-上海卷文-05 填-奇函数图象解不等式

专题合集 (Series)