1997-全国卷文-14 单-含绝对值的分式不等式组

本题导读

本题考查含绝对值的分式不等式组，以及分段讨论求交集。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 不等式组 $\{\begin{array}{l}x>0\\ \frac{3-x}{3+x}>\left|\frac{2-x}{2+x}\right|\end{array}$ 的解集是()

A. $\{x\mid 0<x<2\}$　　　B. $\{x\mid 0<x<2.5\}$　　　C. $\{x\mid 0<x<\sqrt{6}\}$　　　D. $\{x\mid 0<x<3\}$

🔍【思路分析】

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1. 分 $0<x<2$ 与 $x\ge 2$ 讨论绝对值。
2. 分别解不等式后取并集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

当 $0<x<2$ 时，$\left|\frac{2-x}{2+x}\right|=\frac{2-x}{2+x}$，原不等式化为 $\frac{3-x}{3+x}>\frac{2-x}{2+x}$，交叉相乘得 $(3-x)(2+x)>(2-x)(3+x)$，整理得 $2x>0$ 恒成立，故 $0<x<2$ 全满足。当 $x\ge 2$ 时，$\left|\frac{2-x}{2+x}\right|=\frac{x-2}{x+2}$，化为 $\frac{3-x}{3+x}>\frac{x-2}{x+2}$，即 $(3-x)(x+2)>(x-2)(x+3)$，整理得 $2x^2<12$，即 $x<\sqrt{6}$。综上解集为 $0<x<\sqrt{6}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值的分式不等式组

核心方法：$x>0$ 时 $|\frac{2-x}{2+x}|$ 讨论：$0<x<2$ 得 $3-x>2-x$ 恒成立；$x\ge 2$ 时 $\frac{3-x}{3+x}>\frac{x-2}{x+2}$ 解得 $x<\sqrt{6}$，综上 $0<x<\sqrt{6}$，选 C

避坑指南：分绝对值讨论取并

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材含绝对值的不等式

结论推广：一般地，分绝对值符号讨论后取并集

方法推广：分绝对值讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-03 单-绝对值不等式解集
• 2002-新课标文-03 单-绝对值不等式解集
• 2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集