1997-全国卷理-14 单-含绝对值的分式不等式组

本题导读

本题考查不等式组的解法，以及绝对值不等式的性质。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 不等式组 $\{\begin{array}{l}x>0\\ \frac{3-x}{3+x}>\left|\frac{2-x}{2+x}\right|\end{array}$ 的解集是 ()

A. $\{x\mid 0<x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid 0<x<2.5\}$ C. $\{x\mid 0<x<\sqrt{6}\}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid 0<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

确定全局约束域：由第一个不等式可知，自变量必须满足 $x>0$。 绝对值内部零点拆分：绝对值内的表达式为 $\frac{2-x}{2+x}$。在 $x>0$ 的前提下，分母 $2+x>0$ 恒成立。因此，绝对值符号的正负仅取决于分子 $2-x$：

• 当 $0<x\le 2$ 时， $2-x\ge 0$，绝对值直接脱去；
• 当 $x>2$ 时， $2-x<0$，绝对值脱去时需要变号。 分段解不等式并合并：在上述两个区间内分别去掉绝对值符号，将分式不等式转化为多项式不等式求解，最后将各段解集求并集。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，全局必须满足前提条件： $x>0\text{(1)}$。 此时分母满足 $3+x>0$ 且 $2+x>0$。

下面根据绝对值内部关键零点 $x=2$ 对区间 $(0,+\infty )$ 进行分类讨论：

情况一：当 $0<x\le 2$ 时

此时 $2-x\ge 0$，所以 $\left|\frac{2-x}{2+x}\right|=\frac{2-x}{2+x}$。 原不等式组转化为： $\frac{3-x}{3+x}>\frac{2-x}{2+x}$

因为 $3+x>0$ 且 $2+x>0$，不等式两边可以同时乘以分母乘积 $(3+x)(2+x)$ 而不改变不等号方向： $(3-x)(2+x)>(2-x)(3+x)$ 展开两边： $6+x-x^2>6-x-x^2$ 移项合并同类项： $2x>0⟹x>0$

结合本段的前提条件 $0<x\le 2$，该段的解集为： $0<x\le 2\text{(2)}$

情况二：当 $x>2$ 时

此时 $2-x<0$，所以 $\left|\frac{2-x}{2+x}\right|=\frac{x-2}{2+x}$。 原不等式组转化为： $\frac{3-x}{3+x}>\frac{x-2}{2+x}$

同样，两边同时乘以正数 $(3+x)(2+x)$： $(3-x)(2+x)>(x-2)(3+x)$ 展开两边： $6+x-x^2>x^2+x-6$ 移项整理至一侧： $2x^2-12<0⟹x^2-6<0$ 解得： $-\sqrt{6}<x<\sqrt{6}$

结合本段的前提条件 $x>2$，取交集得到该段的解集为： $2<x<\sqrt{6}\text{(3)}$

综合并集

将两段的解集 ② 和 ③ 求并集（连起来）： $(0,2]\cup (2,\sqrt{6})=(0,\sqrt{6})$

所以，原不等式组的解集为 $\{x\mid 0<x<\sqrt{6}\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式的同底去分母法则；零点分段讨论法。 核心方法：“分段去模法”。 避坑指南：

• 盲目两边平方陷阱：本题如果直接采用两边平方的方法消去绝对值，会产生四次多项式不等式，极易因计算量过大或化简出错而导致失分。
• 前提域漏项陷阱：在第二步中算出了 $x<\sqrt{6}$，如果忘记和前提 $x>2$ 取交集，直接和第一阶段连接，极易错选成 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于含绝对值不等式的高频经典题型。取材于高中数学教材“不等式”章节中关于“绝对值不等式解法”的章末能力拔高检测题。 结论推广：对于广义分式绝对值不等式 $\frac{a-x}{a+x}>\left|\frac{b-x}{b+x}\right|$ （其中 $a>b>0,x>0$）：

• 在 $0<x\le b$ 范围内，恒可化简为 $2(a-b)x>0$，由于 $a>b$，此处恒成立；
• 在 $x>b$ 范围内，恒可退化为二次有界极限 $x^2<ab⟹x<\sqrt{ab}$。 利用该几何均值限界模型，直接代入本题的 $a=3,b=2$，可一步心算出上限为 $\sqrt{3\times 2}=\sqrt{6}$，在考场上实现直接秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-03 单-绝对值不等式解集
• 2002-新课标文-03 单-绝对值不等式解集
• 2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集