1991-全国卷理-25 解-对数不等式的分类讨论

本题导读

本题考查对数的换底公式与性质、等比数列的前 $n$ 项和公式。核心在于换底公式统一底数、数列求和化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 已知 $n$ 为自然数，实数 $a>1$，解关于 $x$ 的不等式： ${\log }_{a}x-4{\log }_{a^2}x+12{\log }_{a^3}x+\cdots +n(-2{)}^{n-1}{\log }_{a^n}x>\frac{1-(-2{)}^n}{3}{\log }_a(x^2-a)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域条件：对数式必须有意义，即真数均大于 0。由 ${\log }_{a}x$ 和 ${\log }_a(x^2-a)$ 求出 $x>0$ 且 $x^2-a>0⟹x>\sqrt{a}$。
2. 统一底数：利用对数的换底公式 ${\log }_{a^m}x=\frac{1}{m}{\log }_{a}x$，将左边各项的底数全部统一为 $a$。
3. 数列求和化简：提取公因式 ${\log }_{a}x$ 后，括号内呈现为一个以 $-2$ 为公比的等比数列，利用等比数列求和公式将其合并。
4. 两边化简对比：消除两侧相同的系数项，将不等式转化为形如 ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)$ 或 ${\log }_{a}f(x)<{\log }_{a}g(x)$ 的形式。
5. 分类讨论：由于不等式化简过程中可能涉及除以包含 $n$ 的项，且 $n$ 的奇偶性直接决定了项的正负号，因此必须分 $n$ 为奇数和偶数两种情况分别求解，并严格与定义域求交集。

✅【答案】

Success

(n 为偶数) $x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

(n 为奇数) $\sqrt{a}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定不等式的定义域 要使不等式有意义，必须满足各对数式的真数大于 0： $\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2-a>0\end{array}$ 因为实数 $a>1$，所以 $x^2>a⟹x>\sqrt{a}$ 或 $x<-\sqrt{a}$。 与 $x>0$ 取交集，得到原不等式的定义域为：$x>\sqrt{a}$。

第二步：利用换底公式化简左端 利用对数性质 ${\log }_{a^m}x=\frac{1}{m}{\log }_{a}x$，将左端各项展开：

• 第一项： ${\log }_{a}x$
• 第二项： $-4{\log }_{a^2}x=-4\cdot \frac{1}{2}{\log }_{a}x=-2{\log }_{a}x$
• 第三项： $12{\log }_{a^3}x=12\cdot \frac{1}{3}{\log }_{a}x=4{\log }_{a}x$
• $\dots$
• 第 $n$ 项： $n(-2{)}^{n-1}{\log }_{a^n}x=n(-2{)}^{n-1}\cdot \frac{1}{n}{\log }_{a}x=(-2{)}^{n-1}{\log }_{a}x$

将各项代回原不等式左端并提取公因式 ${\log }_{a}x$： $\text{左端}=\left[1+(-2)+(-2{)}^2+\cdots +(-2{)}^{n-1}\right]{\log }_{a}x$

括号内是一个首项为 1，公比 $q=-2$，项数为 $n$ 的等比数列。由等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 得： $1+(-2)+(-2{)}^2+\cdots +(-2{)}^{n-1}=\frac{1\cdot [1-(-2{)}^n]}{1-(-2)}=\frac{1-(-2{)}^n}{3}$

因此，原不等式可以化简为： $\frac{1-(-2{)}^n}{3}{\log }_{a}x>\frac{1-(-2{)}^n}{3}{\log }_a(x^2-a)$

第三步：分类讨论求解不等式

注意到两端含有共同的系数 $A=\frac{1-(-2{)}^n}{3}$。由于 $n$ 是自然数，我们需要根据 $n$ 的奇偶性来判定系数 $A$ 的正负号，从而决定两边同除以 $A$ 时不等号是否需要改变方向。

情况 1：当 $n$ 为正偶数时（即 $n=2,4,6,\dots$） 此时， $(-2{)}^n=2^n$。 因为 $n\ge 2$，所以 $2^n\ge 4$，从而有 $1-(-2{)}^n=1-2^n<0$。 也就是说，系数 $\frac{1-(-2{)}^n}{3}<0$。

不等式两边同时除以这个负数系数，不等号方向改变： ${\log }_{a}x<{\log }_a(x^2-a)$

因为已知底数 $a>1$，对数函数 $y={\log }_{a}t$ 在定义域内单调递增，故脱去对数符号后不等号方向不变： $x<x^2-a⟹x^2-x-a>0$

解对应的一元二次方程 $x^2-x-a=0$，由求根公式得： $x=\frac{1\pm \sqrt{1+4a}}{2}$ 因为 $a>1⟹1+4a>5⟹\sqrt{1+4a}>\sqrt{5}$，所以该二次不等式的解为： $x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\text{或}x<\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}$

现在将此解与第一步得到的定义域 $x>\sqrt{a}$ 取交集。 比较 $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ 与 $\sqrt{a}$ 的大小： 作差法或平方： $\left(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right)-\sqrt{a}=\frac{1+\sqrt{1+4a}-2\sqrt{a}}{2}$ 因为 $\sqrt{1+4a}>\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，所以 $1+\sqrt{1+4a}-2\sqrt{a}>1>0$。 从而可知： $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}>\sqrt{a}$。

因此，取交集后的解集为： $x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

情况 2：当 $n$ 为奇数时（即 $n=1,3,5,\dots$） 此时， $(-2{)}^n=-(2^n)$。 从而有 $1-(-2{)}^n=1+2^n>0$。 也就是说，系数 $\frac{1-(-2{)}^n}{3}>0$。

不等式两边同时除以这个正数系数，不等号方向不变： ${\log }_{a}x>{\log }_a(x^2-a)$

由于底数 $a>1$，脱去对数符号： $x>x^2-a⟹x^2-x-a<0$

解得： $\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

现在将此解与定义域 $x>\sqrt{a}$ 取交集。由前面的比较可知 $\sqrt{a}<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，且由于 $a>1$， $\sqrt{a}>1>\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}$。 因此，取交集后的解集为： $\sqrt{a}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$

。

第四步：总结最终结论 综上所述，原不等式的解集为：

• 当 $n$ 为偶数时，解集为 $\left\{x|x>\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right\}$；
• 当 $n$ 为奇数时，解集为 $\left\{x|\sqrt{a}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：本题综合考查对数的换底公式（${\log }_{a^n}x=\frac{1}{n}{\log }_{a}x$）、等比数列求和公式，以及含参不等式的有理化处理。
2. 核心方法：分类讨论思想。本题的讨论由等比数列求和项的符号自然引发。
3. 避坑指南：
   • 遗漏定义域：这是对数不等式中常见失分点。很多考生能准确地化简出 $x^2-x-a>0$ 或 $<0$，却因为不和 $x>\sqrt{a}$ 取交集，导致最终答案出错。
   • 符号颠倒：在 $n$ 为偶数时，由于 $1-(-2{)}^n$ 为负数，除过去时必须改变不等号方向，此处容易因思维定势而忽略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于对数运算性质与等比数列求和的交汇，核心是换底公式 ${\log }_{a^m}x=\frac{1}{m}{\log }_{a}x$ 将各项系数 $n(-2{)}^{n-1}$ 与 $\frac{1}{n}$ 相消，本质是”错位”型等比系数求和，考查分类讨论（$n$ 的奇偶决定系数 $\frac{1-(-2{)}^n}{3}$ 的符号）与对数单调性。

结论推广：一般地，形如 ${\sum }_{k=1}^{n}k{q}^{k-1}{\log }_{a^k}x$ 的左端恒可化为 $\frac{1-q^n}{1-q}{\log }_{a}x$；当 $q=-2$ 时系数为 $\frac{1-(-2{)}^n}{3}$，其符号由 $n$ 的奇偶决定，故解集随 $n$ 的奇偶分两类，可推广至任意公比 $q\ne 1$ 的同类不等式。

方法推广：换底归一→等比求和→提取公共系数→按系数符号分类脱去对数，是处理”对数+数列”综合不等式的通法，注意先定定义域、再比较根与定义域端点大小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1993-新高考文-25 解-对数函数的定义域、奇偶性与取值范围
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数