1992-全国文-07 单-对数不等式与底数

本题导读

本题考查对数不等式与底数的关系，以及对数函数单调性的运用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 若 ${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$，则 ()

A. 0<a<b<1　　　　　　B. 0<b<a<1　　　　　　C. a>b>1　　　　　　D. b>a>1

🔍【思路分析】

破题导航

${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$ 说明 $a,b\in (0,1)$；同真数比较底数，$0<b<a<1$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因 ${\log }_{a}2<0$ 且 ${\log }_{b}2<0$，故 $0<a<1$、$0<b<1$（底数小于 1 时真数 2 大于 1 对数为负）。又 ${\log }_{a}2<{\log }_{b}2$，即 $\frac{1}{{\log }_{2}a}<\frac{1}{{\log }_{2}b}$，而 ${\log }_{2}a<0$、${\log }_{2}b<0$，取倒数不等号反向：${\log }_{2}a>{\log }_{2}b$，由 ${\log }_{2}x$ 递增得 $a>b$。故 $0<b<a<1$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式与底数

核心方法：${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$ 得 $0<b<a<1$

避坑指南：同取倒数后底数与真数关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数不等式

结论推广：${\log }_{a}2<{\log }_{b}2<0$ 定底数大小

方法推广：底数小于 1 时对数递减

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-13 单-函数的单调性判定
• 1996-上海文-07 单-对数比较大小
• 2000-大纲文-07 单-对数式的比较大小