1990-上海卷-18 单-对数的大小比较

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质（单调性），以及复合对数函数的取值范围。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 已知 $1<x<d$，令 $a=({\log }_{d}x{)}^2$， $b={\log }_d(x^2)$， $c={\log }_d({\log }_{d}x)$，则 ()

A. $a<b<c$　　　　B. $a<c<b$　　　　C. $c<b<a$　　　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一核心元：观察发现三个变量 $a,b,c$ 都可以通过对数运算性质统一用 $t={\log }_{d}x$ 来表达：
   • $a=t^2$
   • $b=2{\log }_{d}x=2t$
   • $c={\log }_{d}t$
2. 锁定核心元的取值范围：根据底数 $d>x>1$ 可知对数底数 $d>1$。对已知不等式 $1<x<d$ 各项同时取以 $d$ 为底的对数，可得 $0<{\log }_{d}x<1$，即 $t\in (0,1)$。
3. 分析比较：
   • 方法一（特殊值法）：在 $t\in (0,1)$ 内任选一个特殊值（如 $t=\frac{1}{2}$），直接计算出 $a,b,c$ 的大小关系。
   • 方法二（函数图象法）：比较在区间 $(0,1)$ 内，幂函数 $y=t^2$、正比例函数 $y=2t$ 以及对数函数 $y={\log }_{d}t$（此时底数 $d>1$）的纵坐标相对位置。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一（特殊值法）： 因为题目要求的结论对满足 $1<x<d$ 的所有变量均成立，我们可以选取符合条件的特殊值进行定量简化。

令对数基本元： ${\log }_{d}x=\frac{1}{2}$ （此时对应的几何关系为 $x=\sqrt{d}$，当 $d>1$ 时满足 $1<\sqrt{d}<d$，完全合乎题意）。

将 ${\log }_{d}x=\frac{1}{2}$ 分别代入 $a,b,c$ 的代数式中进行计算：

• 计算 $a$ 的值： $a=({\log }_{d}x{)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}=0.25$
• 计算 $b$ 的值： $b={\log }_d(x^2)=2{\log }_{d}x=2\times \frac{1}{2}=1$
• 计算 $c$ 的值： $c={\log }_d({\log }_{d}x)={\log }_d\left(\frac{1}{2}\right)=-{\log }_{d}2$ 因为底数 $d>x>1$，所以 ${\log }_{d}2$ 是一个正数，从而其相反数： $c=-{\log }_{d}2<0$

对比三个计算结果的大小： 因为 $c<0$，$a=0.25$，$b=1$，有： $c<a<b$

解法二（严谨性质分析法）： 因为 $1<x<d$，且底数 $d>1$，对数函数 $y={\log }_d\theta$ 在定义域上单调递增。 对已知不等式各取以 $d$ 为底的对数： ${\log }_{d}1<{\log }_{d}x<{\log }_{d}d⟹0<{\log }_{d}x<1$

设 $t={\log }_{d}x$，则 $t\in (0,1)$。 原式可统一化为关于 $t$ 的通用函数： $a=t^2,b=2t,c={\log }_{d}t$

在区间 $t\in (0,1)$ 内：

1. 对于 $a$ 与 $b$：因为 $0<t<1$，所以 $t^2<t<2t⟹a<b$。
2. 对于 $c$：因为对数函数的底数 $d>1$，自变量 $t\in (0,1)$，根据对数函数的图象性质，此时的对数值必为负数，即 $c={\log }_{d}t<0$。
3. 而由于 $t>0$，$a=t^2>0$，$b=2t>0$。

综合上述符号和大小判定： $c<0<a<b⟹c<a<b$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算性质（${\log }_d{x}^2=2{\log }_{d}x$），对数函数在不同自变量主值区间下的正负号判定，初等函数性质的综合比较。
2. 核心方法：
   • 整体元代换法：通过设 $t={\log }_{d}x$，将多层高阶复合的抽象字母表达式，降维转化成学生极其熟悉的初等一元函数结构，使隐藏的代数大小关系彻底明朗化。
3. 避坑指南：
   • 对数底数与真数范围符号判定混乱：很多考生在判断 $c={\log }_d({\log }_{d}x)$ 的正负时容易卡壳。牢记对数正负号的“同轴同号，异轴异号”法则：底数与真数同时大于1或同时在 $(0,1)$ 内则对数为正；一大于1一在 $(0,1)$ 内则对数为负。本题中底数 $d>1$ 而真数 ${\log }_{d}x<1$，故 $c$ 必为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于指数对数比较大小大类中的天花板级压轴选择题，源自教材中对“对数复合函数单调性”与“初等函数图象交点关系”的深度综合考查。
2. 结论推广：本题实质上是对区间 $(0,1)$ 上三个典型单调函数推广形态的刻画。 对于任意满足 $0<t<1$ 的自变量，在直角坐标系中： 对数曲线 $y={\log }_{d}t$ 沉在 $t$ 轴下方（负半轴），抛物线 $y=t^2$ 在第一象限且被压在对角线 $y=x$ 下方，而射线 $y=2t$ 昂扬在最上方。这一相对高低位置不仅对本题的对数元成立，在高等数学中处理概率密度函数（PDF）的微元大小比较以及定积分的被积函数估值时，也是一种极其高频的核心直观几何不等式链。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数
• 1992-全国卷理-07 单-对数函数与倒数不等式
• 1992-上海-04 填-对数方程的求解