1992-三南-13 单-集合的运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及对数不等式底数分类讨论。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 设全集 $U=\mathbf{R}$，集合 $M=\{x\mid \sqrt{x^2}>2\}$，$N=\{x\mid {\log }_{x}7>{\log }_{3}7\}$，那么 $M\cap N=$ ()

A. $\{x\mid x<-2\}$　　　　　B. $\{x\mid x<-2\text{或}x\ge 3\}$　　　　

C. $\{x\mid x\ge 3\}$　　　　　D. $\{x\mid -2\le x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\sqrt{x^2}=|x|$，$M=\{x\mid x<-2\text{或}x>2\}$；$N$ 定义域 $x>0$ 且 $x\ne 1$，得 $N=(1,3)$。$M\cap N=[3,+\infty )$，而 $x<-2$ 部分也含于 $M$ 但与 $N$ 无交，故 $M\cap N=\{x\mid x<-2\text{或}x\ge 3\}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{x^2}=|x|$，故 $M=\{x\mid x<-2\text{或}x>2\}$。对 $N$，定义域要求 $x>0$ 且 $x\ne 1$：当 $0<x<1$ 时 ${\log }_{x}7<0<{\log }_{3}7$；当 $x>1$ 时，${\log }_{x}7>{\log }_{3}7⟺\ln x<\ln 3⟺1<x<3$，故 $N=(1,3)$。于是 $M\cap N=(-\infty ,-2)\cup [3,+\infty )$，即 $\{x\mid x<-2\text{或}x\ge 3\}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的运算

核心方法：$M=\{x\mid x<-2\text{ 或 }x>2\}$，$N=(1,3)$，交集 $(-\infty ,-2)\cup [3,+\infty )$

避坑指南：集合化简取交集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交集与对数的综合

结论推广：${\log }_{x}7>{\log }_{3}7$ 需讨论底数 $x$ 与 1 的关系

方法推广：对数不等式分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数
• 1993-上海-13 单-函数的单调性判定
• 2000-大纲文-07 单-对数式的比较大小