1990-全国文-11 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，涉及分式方程与定义域限制。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） 设全集 $I=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbf{R}\}$，集合 $M=\{(x,y)\mid \frac{y-3}{x-2}=1\}$，$N=\{(x,y)\mid y\ne x+1\}$，那么 $M\cap N$ 等于 ()

A. $\varnothing$　　　　　　B. $\{(2,3)\}$　　　　　　C. $(2,3)$　　　　　　D. $\{(x,y)\mid y=x+1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

化简 M 中方程并注意 $x\ne 2$，再看交集的构成。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{y-3}{x-2}=1$ 交叉相乘得 $y-3=x-2$ 即 $y=x+1$，且 $x\ne 2$，故 $M=\{(x,y)\mid y=x+1,x\ne 2\}$。又 $N=\{(x,y)\mid y\ne x+1\}$。因 $M$ 中每点均满足 $y=x+1$，与 $N$ 的要求 $y\ne x+1$ 矛盾，故 $M\cap N=\varnothing$。★裁定：本题按严格数学推导应为 A（$\varnothing$），官方答案册标 B（$\{(2,3)\}$）有误；已按 $M=\{(x,y)\mid y=x+1,x\ne 2\}$、$N=\{(x,y)\mid y\ne x+1\}$ 独立复算，$M\cap N=\varnothing$，取 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集运算

核心方法：化简集合中点满足的方程，注意定义域限制求交集。

避坑指南：集合化简+交集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交运算前先化简并注意定义域。

结论推广：分式方程需检验分母不为零。

方法推广：注意 (2,3) 是否在 N 中

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1991-上海-11 单-集合的交集运算
• 1992-三南-13 单-集合的运算
• 1991-三南-05 单-集合的包含与并集